Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $E$ là điểm thuộc cạnh $CD$ sao cho $CD=3CE$, $F$ là điểm thuộc cạnh $SD$ sao cho $SF=\frac{3}{4}SD$, G là trọng tâm tam giác ACD.

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(SBE)$ và $(SAC)$.

b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$; $(SAB)$ và $(SCD)$.

c) Tìm điểm $K$ là giao điểm của $AF$ và (SBE). Tính tỉ số $\frac{KF}{KA}$.

(AI giải đề cho tôi)
**Bài 5.** Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy là hình bình hành, $E\in CD$ với $CD=3CE$ (nghĩa là $CE=\frac{1}{3}CD$), $F\in SD$ với $SF=\frac{3}{4}SD$.

**a) Giao tuyến của $(SBE)$ và $(SAC)$.**
Hai mặt phẳng đều chứa điểm $S$, nên giao tuyến đi qua $S$. Xét trong mặt phẳng $(ABCD)$: $BE$ cắt $AC$ tại $I$. Ta xác định vị trí $I$ bằng cách đặt hệ tọa độ: $A(0,0)$, $B=\vec{b}$, $D=\vec{d}$, $C=\vec{b}+\vec{d}$, khi đó $E=\frac{2\vec{b}+3\vec{d}}{3}$.
Điểm trên $BE$: $\vec{b}+t(E-\vec{b})$; điểm trên $AC$: $s(\vec{b}+\vec{d})$. So sánh hệ số theo $\vec{b},\vec{d}$ ta được $t=s$ và $1-\frac{t}{3}=t\Rightarrow t=\frac{3}{4}$.
Vậy $I\in AC$ với $\frac{AI}{AC}=\frac{3}{4}$ (tức $3IA=IC$... chính xác là $AI=\frac{3}{4}AC$).
Giao tuyến của $(SBE)$ và $(SAC)$ là đường thẳng $SI$ với $I=BE\cap AC$, $AI=\frac{3}{4}AC$.

**b) Giao tuyến của $(SAD)$ và $(SBC)$; của $(SAB)$ và $(SCD)$.**
- Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AD\parallel BC$. Mặt phẳng $(SAD)$ chứa đường $d_1$ qua $S$ song song với $AD$; mặt phẳng $(SBC)$ chứa đường $d_2$ qua $S$ song song với $BC$. Vì $AD\parallel BC$ nên $d_1\equiv d_2$. Vậy giao tuyến của $(SAD)$ và $(SBC)$ là đường thẳng qua $S$ song song với $AD$ (và $BC$).
- Tương tự, $AB\parallel CD$, nên giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng qua $S$ song song với $AB$ (và $CD$).

**c) Tìm $K=AF\cap (SBE)$ và tính $\frac{KF}{KA}$.**
Dùng hệ vectơ độc lập $\{{\overrightarrow{SA}}^{\prime },\vec{b},\vec{d}\}$ với gốc $A$: $S=\vec{s}$, $F=\frac{1}{4}\vec{s}+\frac{3}{4}\vec{d}$ (vì $SF=\frac{3}{4}SD$), $E=\frac{2\vec{b}+3\vec{d}}{3}$.
Điểm $K$ trên $AF$: $K=uF=u\left(\frac{1}{4}\vec{s}+\frac{3}{4}\vec{d}\right)$.
Điểm $K$ trong $(SBE)$: $K=(1-\alpha -\beta )\vec{s}+\alpha \vec{b}+\beta E$.
So sánh hệ số:
- Theo $\vec{b}$: $0=\alpha +\frac{2}{3}\beta$;
- Theo $\vec{d}$: $\frac{3}{4}u=\beta$;
- Theo $\vec{s}$: $\frac{u}{4}=1-\alpha -\beta$.
Từ hai phương trình đầu: $\alpha =-\frac{u}{2}$, $\beta =\frac{3u}{4}$. Thay vào: $\frac{u}{4}=1+\frac{u}{2}-\frac{3u}{4}=1-\frac{u}{4}\Rightarrow u=2$.
Vậy $K=2F$ (tính theo vectơ từ $A$), tức $F$ là trung điểm của $AK$, do đó $KF=FA$ và $$\frac{KF}{KA}=\frac{1}{2}.$$