Cho tứ diện $ABCD$, gọi $I$ và $J$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $AC$, G là trọng tâm của tam giác $BCD$, mặt phẳng $(GIJ)$ cắt $BC,BD$ lần lượt tại $M$ và N. Đặt $MN=x.IJ$ Tìm x (kết quả làm tròn đến hàng thập phân thứ hai).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AD,AC$ nên $IJ$ là đường trung bình của tam giác $ACD$, suy ra $IJ\parallel CD$ và $IJ=\frac{1}{2}CD$.

Xét hai mặt phẳng $(GIJ)$ và $(BCD)$: cả hai đều chứa điểm $G$, nên giao tuyến của chúng là đường thẳng đi qua $G$, chính là $MN$ (vì $M\in BC\subset (BCD)$, $N\in BD\subset (BCD)$ và $M,N\in (GIJ)$).

Ta có $IJ\subset (GIJ)$, $IJ\parallel CD$ với $CD\subset (BCD)$, và $IJ$ không nằm trong $(BCD)$. Theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng, giao tuyến $MN$ của $(GIJ)$ với $(BCD)$ phải song song với $CD$: $MN\parallel CD$.

Trong tam giác $BCD$, đường thẳng qua trọng tâm $G$ song song với $CD$ cắt $BC,BD$ tại $M,N$. Gọi $K$ là trung điểm của $CD$, thì $B,G,K$ thẳng hàng với $BG=\frac{2}{3}BK$. Tam giác $BMN$ đồng dạng tam giác $BCD$ với tỉ số $\frac{BM}{BC}=\frac{BG}{BK}=\frac{2}{3}$.

Vậy $MN=\frac{2}{3}CD=\frac{2}{3}\cdot 2IJ=\frac{4}{3}IJ$, suy ra $x=\frac{4}{3}\approx 1,33$.