Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khoảng biến thiên và IQR mẫu ghép nhóm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=5+12+23+31+29=100$. Nhóm chứa tứ phân vị: vị trí $\frac{n}{4}=25$; tần số tích lũy: $5;17;40;71;100$ nên $Q_1$ thuộc nhóm $[40;60)$: $Q_1=40+\frac{25-17}{23}\cdot 20=\frac{1080}{23}\approx 46,96$. Vị trí $\frac{3n}{4}=75$ thuộc nhóm $[80;100)$ (vì $71<75\le 100$): $Q_3=80+\frac{75-71}{29}\cdot 20=\frac{2400}{29}\approx 82,76$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1\approx 82,76-46,96=35,8$. Kết quả trùng với đáp án nguồn.

a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=2+10+16+8+2+2=40$. Tần số tích lũy: $2;12;28;36;38;40$.

Tứ phân vị thứ nhất: vị trí $\frac{n}{4}=10$, thuộc nhóm $[40;50)$ (tần số tích lũy trước là 2, tần số nhóm là 10):
$$Q_1=40+\frac{10\left(10-2\right)}{10}=48.$$

Tứ phân vị thứ ba: vị trí $\frac{3n}{4}=30$, vì tần số tích lũy đến nhóm $[50;60)$ là $28<30$ nên $Q_3$ thuộc nhóm $[60;70)$ (tần số tích lũy trước là 28, tần số nhóm là 8):
$$Q_3=60+\frac{10\left(30-28\right)}{8}=\mathrm{62.5.}$$

Khoảng tứ phân vị:
$${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=62.5-48=14.5\text{ (phuˊt)}.$$
Kết quả khớp với đáp án nguồn 14.5.

(AI giải đề cho tôi)
Cộng dồn tần số: 5; 17; 42; 86; 100 (n=100). Tứ phân vị thứ nhất: vị trí 25 nằm trong nhóm [8,8; 9,0): $Q_1=8,8+\frac{25-17}{25}\cdot 0,2=8,864$. Tứ phân vị thứ ba: vị trí 75 nằm trong nhóm [9,0; 9,2): $Q_3=9,0+\frac{75-42}{44}\cdot 0,2=9,15$. Khoảng tứ phân vị $\Delta Q=Q_3-Q_1=9,15-8,864=0,286\approx 0,3$. Khớp đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ biểu đồ, tần số các nhóm: [2;4): 12, [4;6): 20, [6;8): 37, [8;10): 21, [10;12): 10, nên $n=100$. Tần số tích lũy: 12, 32, 69, 90, 100. $Q_1$: vị trí 25 thuộc nhóm [4;6): $Q_1=4+\frac{2(25-12)}{20}=5,3$. $Q_3$: vị trí 75 thuộc nhóm [8;10): $Q_3=8+\frac{2(75-69)}{21}=8+\frac{12}{21}\approx 8,5714$. Khoảng tứ phân vị $\Delta Q=Q_3-Q_1\approx 3,27$. Kết quả trùng với đáp án nguồn 3,27.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=100$. Tần số tích lũy: 5, 17, 42, 86, 100.

Tứ phân vị thứ nhất: $\frac{n}{4}=25$, thuộc nhóm $[8,8;9,0)$ nên
$$Q_1=8,8+\frac{25-17}{25}\cdot 0,2=8,864.$$

Tứ phân vị thứ ba: $\frac{3n}{4}=75$, thuộc nhóm $[9,0;9,2)$ nên
$$Q_3=9,0+\frac{75-42}{44}\cdot 0,2=9,0+\frac{33}{44}\cdot 0,2\approx 9,15.$$

Khoảng tứ phân vị:
$${\Delta }_Q=Q_3-Q_1\approx 9,15-8,864=0,286\approx 0,3.$$

Kết quả khớp với đáp án nguồn (đề 1025, câu 11: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ biểu đồ tần số (trang 8): các nhóm $[2;4),[4;6),[6;8),[8;10),[10;12)$ có tần số tương ứng $12,20,37,21,10$, nên cỡ mẫu $n=12+20+37+21+10=100$. Tần số tích lũy: $12;32;69;90;100$.

Tứ phân vị thứ nhất: $\frac{n}{4}=25$ thuộc nhóm $[4;6)$ với tần số tích lũy trước là $12$, tần số nhóm $n_2=20$, độ dài nhóm $h=2$:
$$Q_1=4+\frac{25-12}{20}\cdot 2=4+1,3=5,3.$$

Tứ phân vị thứ ba: $\frac{3n}{4}=75$ thuộc nhóm $[8;10)$ với tần số tích lũy trước là $69$, tần số nhóm $n_2=21$, $h=2$:
$$Q_3=8+\frac{75-69}{21}\cdot 2=8+\frac{12}{21}\approx 8,5714.$$

Khoảng tứ phân vị:
$$\Delta Q=Q_3-Q_1\approx 8,5714-5,3=3,2714\approx 3,27.$$

Kết quả trùng với đáp án nguồn 3,27 (bảng đáp án Phần III, Câu 2, Mã đề 209, trang 9).

Lời giải
Từ biểu đồ, ta có bảng số liệu sau:

Cỡ mẫu $n=100$.
$$Q_1=4+\frac{\frac{100}{4}-12}{20}\cdot (6-4)=\frac{53}{10}.$$
$$Q_3=8+\frac{\frac{3\cdot 100}{4}-(12+20+37)}{21}\cdot (10-8)=\frac{60}{7}.$$
Khoảng tứ phân vị là ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=\frac{60}{7}-\frac{53}{10}=\frac{229}{70}\approx 3,27$ (giờ).
Đáp án: 3,27

+ $n=100$ , $Q_1\in [22;25)$
+ $Q_1=22+\frac{\frac{1}{4}.100-10}{26}(25-22)=\frac{617}{26}\approx 23,73$ (0,25)
+ $Q_3\in [28;31)$
$$Q_3=28+\frac{\frac{3}{4}.100-(10+26+32)}{25}(31-28)=\frac{721}{25}=28,84$$ (0,25)
+ ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=\frac{721}{25}-\frac{617}{26}=\frac{3321}{650}\approx 5,11$ (0,25)

(AI giải đề cho tôi)
Cần tính khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1$ của mẫu số liệu ghép nhóm với $n=100$.

Tần số tích lũy: $5;17;42;86;100$.

**Tính $Q_1$:** $\frac{n}{4}=25$. Vì $17<25\le 42$ nên $Q_1$ thuộc nhóm $[8,8;9,0)$:
$$Q_1=8,8+\frac{25-17}{25}\cdot 0,2=8,8+0,064=8,864.$$

**Tính $Q_3$:** $\frac{3n}{4}=75$. Vì $42<75\le 86$ nên $Q_3$ thuộc nhóm $[9,0;9,2)$:
$$Q_3=9,0+\frac{75-42}{44}\cdot 0,2=9,0+\frac{33}{44}\cdot 0,2=9,0+0,15=9,15.$$

**Khoảng tứ phân vị:**
$${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=9,15-8,864=0,286\approx 0,29.$$

Kết quả khớp với đáp án nguồn $0,29$.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=100$. Tần số tích lũy: 5; 17; 42; 86; 100.

Tứ phân vị thứ nhất: $\frac{n}{4}=25$, nằm trong nhóm $[8,8;9,0)$ (tần số tích lũy trước là 17, tần số nhóm là 25):
$$Q_1=8,8+\frac{25-17}{25}\cdot 0,2=8,864.$$

Tứ phân vị thứ ba: $\frac{3n}{4}=75$, nằm trong nhóm $[9,0;9,2)$ (tần số tích lũy trước là 42, tần số nhóm là 44):
$$Q_3=9,0+\frac{75-42}{44}\cdot 0,2=9,15.$$

Khoảng tứ phân vị:
$$IQR=Q_3-Q_1=9,15-8,864=0,286\approx 0,29.$$

Kết quả trùng với đáp án nguồn 0,29.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=33+35+19+25+28+27=167$. Giá trị đại diện các nhóm lần lượt là $25,35,45,55,65,75$.
a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu mút phải nhóm cuối và đầu mút trái nhóm đầu: $80-20=60\ne 70$ → sai.
b) $\frac{n}{4}=\frac{167}{4}=41,75$. Cộng dồn: nhóm $[20;30)$ có 33 người, nhóm $[30;40)$ có $33+35=68$ người. Vì $33<41,75\le 68$ nên tứ phân vị thứ nhất thuộc nhóm $[30;40)$ → đúng.
c) Tần số tích lũy để tính trung bình: $\bar{x}=\frac{25\cdot 33+35\cdot 35+45\cdot 19+55\cdot 25+65\cdot 28+75\cdot 27}{167}=\frac{8125}{167}\approx 48,65$. Phương sai: $s^2=\frac{625\cdot 33+1225\cdot 35+2025\cdot 19+3025\cdot 25+4225\cdot 28+5625\cdot 27}{167}-{\bar{x}}^2=\frac{447775}{167}-{\left(\frac{8125}{167}\right)}^2\approx 2681,29-2367,08\approx 314,20\ne 316,10$ → sai.
d) Giá trị đại diện của nhóm $[30;40)$ là $\frac{30+40}{2}=35$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên $=80-20=60\ne 70$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{n}{4}=41,75$, tần số tích lũy đến nhóm $[20;30)$ là 33, đến nhóm $[30;40)$ là 68, nên $Q_1$ thuộc nhóm $[30;40)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\bar{x}=\frac{8125}{167}\approx 48,65$; $s^2=\frac{447775}{167}-{\bar{x}}^2\approx 314,20\ne 316,10$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị đại diện nhóm $[30;40)$ là $\frac{30+40}{2}=35$.

Đáp án theo bảng đáp án mã đề 121: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng (DSDS).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: khoảng tứ phân vị (kèm quy tắc 1,5·IQR) giúp phát hiện các giá trị bất thường của mẫu số liệu. b) Đúng: khoảng biến thiên $R=x_{max}-x_{min}$ càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán. c) Sai: phương sai có đơn vị là bình phương đơn vị của mẫu số liệu (độ lệch chuẩn mới cùng đơn vị). d) Đúng: độ lệch chuẩn $s=\sqrt{s^2}$ đo độ phân tán của mẫu số liệu quanh giá trị trung bình. Kết quả khớp đáp án nguồn: Đ-Đ-S-Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng tứ phân vị giúp xác định các giá trị bất thường (outliers) của mẫu số liệu, ví dụ theo quy tắc 1,5 lần IQR.
b) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên $R=x_{max}-x_{min}$ càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.
c) (AI giải đề cho tôi)
Phương sai có đơn vị là bình phương đơn vị của mẫu số liệu; độ lệch chuẩn mới có cùng đơn vị với mẫu số liệu.
d) (AI giải đề cho tôi)
Độ lệch chuẩn $s=\sqrt{s^2}$ dùng để đo độ phân tán của mẫu số liệu.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=3+12+15+24+2=56$, nên $\frac{n}{4}=14$ và $\frac{3n}{4}=42$.

Tứ phân vị thứ nhất: nhóm chứa vị trí thứ 14 là $[12,5;14,5)$ (cumulative trước đó là 3). Ta có
$$Q_1=12,5+\frac{14-3}{12}\cdot 2=12,5+\frac{11}{6}=\frac{86}{6}=\frac{43}{3}.$$

Tứ phân vị thứ ba: nhóm chứa vị trí thứ 42 là $[16,5;18,5)$ (cumulative trước đó là 30). Ta có
$$Q_3=16,5+\frac{42-30}{24}\cdot 2=16,5+1=\frac{35}{2}.$$

Khoảng tứ phân vị:
$${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=\frac{35}{2}-\frac{43}{3}=\frac{105-86}{6}=\frac{19}{6}.$$
Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=6+8+12+2+2=30$. Tần số tích lũy: nhóm $[100;120)$: 6; nhóm $[120;140)$: 14; nhóm $[140;160)$: 26; nhóm $[160;180)$: 28; nhóm $[180;200]$: 30.

Tứ phân vị thứ nhất: $\frac{n}{4}=7,5$ nằm trong nhóm $[120;140)$ (tần số tích lũy trước là 6, tần số nhóm là 8), nên
$$Q_1=120+\frac{7,5-6}{8}\cdot 20=120+3,75=123,75\text{ (km)}.$$

Tứ phân vị thứ ba: $\frac{3n}{4}=22,5$ nằm trong nhóm $[140;160)$ (tần số tích lũy trước là 14, tần số nhóm là 12), nên
$$Q_3=140+\frac{22,5-14}{12}\cdot 20=140+\frac{170}{12}=140+\frac{85}{6}\approx 154,17\text{ (km)}.$$

Khoảng tứ phân vị:
$$\Delta Q=Q_3-Q_1\approx 154,17-123,75=30,42\approx 30,4\text{ (km)}.$$

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là $\Delta Q\approx 30,4$ km.

Chọn D. Tần số tích lũy của các nhóm [2,7;3,0), [3,0;3,3), [3,3;3,6), [3,6;3,9), [3,9;4,2) lần lượt là 3; 9; 14; 18; 20 (n = 20). Ta có $\frac{n}{4}=5$ nên $Q_1$ thuộc nhóm [3,0;3,3): $Q_1=3,0+\frac{5-3}{6}\cdot 0,3=3,1$. Ta có $\frac{3n}{4}=15$ nên $Q_3$ thuộc nhóm [3,6;3,9): $Q_3=3,6+\frac{15-14}{4}\cdot 0,3=3,675$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=3,675-3,1=0,575$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng tần số: $2+7+10+11+2=32$, nên lớp 12A có 32 học sinh (A sai). Số học sinh đọc sách từ 50 phút trở lên: $10+11+2=23$ (B sai). Tần số lớn nhất là 11 thuộc nhóm $[55;60)$, không phải $[50;55)$ (C sai). Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm $=65-40=25$ (D đúng). Khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=42$. Vị trí tứ phân vị: $\frac{n}{4}=10,5$ và $\frac{3n}{4}=31,5$. Tần số tích lũy: $4;15;31;39;42$.
- $Q_1$ thuộc nhóm $[5;6)$: $Q_1=5+\frac{10,5-4}{11}\cdot 1=5+\frac{6,5}{11}\approx 5,5909$.
- $Q_3$ thuộc nhóm $[7;8)$: $Q_3=7+\frac{31,5-31}{8}\cdot 1=7,0625$.
Khoảng tứ phân vị: ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1\approx 7,0625-5,5909=1,4716\approx 1,47$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (1,47).

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa giá trị lớn nhất và nhỏ nhất (đại diện hai nhóm đầu và cuối): $R=65-40=25$, nên khẳng định A đúng. Kiểm tra các khẳng định khác: B sai vì số học sinh đọc sách từ 50 phút trở lên là $10+11+2=23$ (không phải 22). C sai vì nhóm có tần số lớn nhất là $[55;60)$ với tần số 11 (nhóm $[50;55)$ chỉ có tần số 10). D sai vì tổng số học sinh là $2+7+10+11+2=32$ (không phải 35). Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 10: A).