Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị phân thức (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=\frac{3x-1}{x+2}=3-\frac{7}{x+2}$, tiệm cận đứng $x=-2$, tiệm cận ngang $y=3$. Tâm đối xứng của đồ thị là giao hai tiệm cận: $(-2;3)$. Khớp đáp án nguồn (C).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị ở Câu 7 có tiệm cận đứng $x=-1$ (đường màu xanh) và tiệm cận xiên $y=-x$ (đường màu xanh lá). Tâm đối xứng của đồ thị hàm phân thức có tiệm cận xiên là giao điểm của hai tiệm cận: thay $x=-1$ vào $y=-x$ ta được $y=1$. Vậy tâm đối xứng là $I(-1;1)$, khớp với điểm $I$ đánh dấu trên hình. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x^2+x-5}{x-2}$, xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{2\}$.

a) $y^{\prime }=\frac{(2x+1)(x-2)-(x^2+x-5)}{(x-2{)}^2}=\frac{2x^2-3x-2-x^2-x+5}{(x-2{)}^2}=\frac{x^2-4x+3}{(x-2{)}^2}$. Đúng.

b) $y^{\prime }=0\iff x=1$ hoặc $x=3$. Với $x\in (1;2)$: $y^{\prime }<0$; với $x\in (2;3)$: $y^{\prime }<0$. Vậy hàm số nghịch biến trên $(1;2)$ và $(2;3)$, tức nghịch biến trên $(1;3)$ (hàm không xác định tại $x=2$ nhưng trên mỗi khoảng nó đều giảm). Đúng.

c) Tại $x=3$: $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên hàm đạt cực tiểu tại $x=3$, không phải cực đại. Sai.

d) Chia đa thức: $\frac{x^2+x-5}{x-2}=x+3+\frac{1}{x-2}$, nên ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left(y-(x+3)\right)=0$. Tiệm cận xiên là $y=x+3$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{(2x+1)(x-2)-(x^2+x-5)}{(x-2{)}^2}=\frac{x^2-4x+3}{(x-2{)}^2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{(x-1)(x-3)}{(x-2{)}^2}<0$ trên $(1;2)$ và $(2;3)$, nên hàm nghịch biến trên $(1;3)$ (trừ điểm gián đoạn $x=2$).
c) (AI giải đề cho tôi)
Tại $x=3$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương nên hàm đạt cực tiểu (không phải cực đại) tại $x=3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y=x+3+\frac{1}{x-2}$, nên tiệm cận xiên là $y=x+3$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x+3}{x-1}$ có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=2$, nên đồ thị có tâm đối xứng là giao điểm hai tiệm cận $I(1;2)$. Vậy chọn đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 0107, Câu 11: A).

a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=1$. Đồ thị hàm phân thức có tâm đối xứng là giao điểm của hai tiệm cận, tức $I(1;1)$. Vậy chọn đáp án A, khớp với bảng đáp án chính thức (Câu 11, Mã đề 2102 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{3x+2}{1-x}$. Viết lại: $y=\frac{-3(1-x)+5}{1-x}=-3+\frac{5}{1-x}$. Đồ thị hàm phân thức bậc nhất $y=a+\frac{b}{cx+d}$ có tâm đối xứng là giao điểm hai tiệm cận: tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=-3$. Vậy tâm đối xứng là điểm $P(1;-3)$, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1101, câu 10: B).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hypebol có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=-1$, nên tâm đối xứng là giao hai tiệm cận $I(1;-1)$, tức $a=1,b=-1$. Khi đó $T=2a-3b=2\cdot 1-3\cdot (-1)=2+3=5$. Vậy chọn đáp án B.

a) Đúng: Điều kiện xác định $2x+1\ne 0\iff x\ne -\frac{1}{2}$.
b) Sai: $y^{\prime }=\frac{1\cdot 1-(-2)\cdot 2}{(2x+1{)}^2}=\frac{5}{(2x+1{)}^2}$.
c) Sai: Tiệm cận đứng là $x=-\frac{1}{2}$, tiệm cận ngang là $y=\frac{1}{2}$.
d) Đúng: Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-\frac{1}{2}$, tiệm cận ngang $y=\frac{1}{2}$, đi qua $(2;0)$ và $(0;-2)$ đúng như hình vẽ.

Đồ thị hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng. Tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận ngang $y=3$, do đó tâm đối xứng là $I(-1;3)$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 6), Câu 12 (Phần I) chọn đáp án B.

Giao điểm của đường tiệm cận đứng $x=2$ và đường tiệm cận ngang $y=-1$ là tâm đối xứng $I(2;-1)$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 5), Câu 12 (Phần I) chọn đáp án A.

Giao điểm của tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận ngang $y=2$ là tâm đối xứng $(-1;2)$.