Kỳ Thi Học Sinh Giỏi Cấp Trường Toán 12 2025-2026

Cho hàm số $y=f(x)=\frac{x^2+2x+2}{x+1}$.

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên

b) Gọi $A$, $B$ là hai điểm cực trị của hàm số trên, tính diện tích của tam giác $OAB$ (với $O$ là gốc tọa độ)

c) Tìm phương trình trục đối xứng của đồ thị hàm số trên

a) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y=x+{\cos }^{2}x$ trên đoạn $\left[0;\frac{\pi }{4}\right]$

c) Anh Tùng muốn vay ngân hàng 200 triệu đồng theo phương thức trả góp (trả tiền vào cuối tháng) với lãi suất $0,75\%$ / tháng. Hỏi hàng tháng anh Tùng phải trả số tiền là bao nhiêu để sau đúng hai năm thì trả hết nợ ngân hàng?

b) Cho hàm số $y=f(x)$ là hàm số đa thức bậc ba có đồ thị như hình vẽ



Hỏi hàm số $g(x)=f(f(x)-1)-3$ có bao nhiêu điểm cực đại?

a) Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh bằng $\sqrt{2}$ và độ dài cạnh $B{A}^{\prime }=\sqrt{6}$. Hãy tính thể tích khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, và khoảng cách giữa hai đường thẳng $A^{\prime }B$, $B^{\prime }C$?

b) Cho tứ diện $OABC$ có các cạnh $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc. Gọi $M$ là một điểm bất kỳ thuộc miền trong tam giác $ABC$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=\frac{M{A}^2}{O{A}^2}+\frac{M{B}^2}{O{B}^2}+\frac{M{C}^2}{O{C}^2}$

Một doanh nghiệp kinh doanh một loại sản phẩm $T$ được sản xuất trong nước. Qua nghiên cứu thấy rằng nếu chi phí sản xuất mỗi sản phẩm $T$ là $x$ (USD) thì số sản phẩm $T$ các nhà máy sản xuất sẽ là $R(x)=x-200$ và số sản phẩm $T$ mà doanh nghiệp bán được trên thị trường trong nước sẽ là $Q(x)=4200-x$. Số sản phẩm còn dư doanh nghiệp xuất khẩu ra thị trường quốc tế với giá bán mỗi sản phẩm ổn định trên thị trường quốc tế là $x_0=3200$ (USD). Nhà nước đánh thuế trên mỗi sản phẩm xuất khẩu là $a$ (USD) và luôn đảm bảo tỉ lệ giữa lãi xuất khẩu của doanh nghiệp và thuế thu được của nhà nước tương ứng là $4:1$. Hãy xác định giá trị của $a$ (biết lãi mà doanh nghiệp thu được do xuất khẩu là nhiều nhất)

(2 điểm) Ba cầu thủ đá penalty, mỗi người đá một lần với xác suất ghi bàn tương ứng là $x,y$ và $0,6$ (với $x>y$). Biết rằng xác suất để ít nhất một trong ba cầu thủ ghi bàn là $0,976$ và xác suất để cả ba cầu thủ đều ghi bàn là $0,336$. Tính xác suất để có đúng hai cầu thủ ghi bàn?

(1 điểm) Cho hàm số $f(x)=\ln \left(e^{\frac{x}{1013}}+e\right)$. Tính giá trị của biểu thức

$$T=f^{\prime }(1)+f^{\prime }(2)+.........+f^{\prime }(2025)$$