Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Độ phân tán mẫu ghép nhóm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=24+57+42+29+8=160$.

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là $R=38-23=15\ne 35$ → Sai.

b) $\frac{n}{4}=40$. Tần số tích lũy: 24; 81; 123; 152; 160. Nhóm chứa $Q_1$ là $[26;29)$: $Q_1=26+\frac{40-24}{57}\cdot 3=26+\frac{16}{19}=\frac{510}{19}\approx 26,84\ne \frac{501}{19}$ → Sai.

c) $\frac{3n}{4}=120$, nhóm chứa $Q_3$ là $[29;32)$: $Q_3=29+\frac{120-81}{42}\cdot 3=29+\frac{39}{14}=\frac{445}{14}\approx 31,79$. Khoảng tứ phân vị $\Delta Q=\frac{445}{14}-\frac{510}{19}=\frac{8455-7140}{266}=\frac{1315}{266}$ → Đúng.

d) Tần số góc: $24,5;27,5;30,5;33,5;36,5$. Tính được $\bar{x}=\frac{4700}{160}=29,375$ và $\sum f_i{x}_i^2=24\cdot 24,5^2+57\cdot 27,5^2+42\cdot 30,5^2+29\cdot 33,5^2+8\cdot 36,5^2=139786$, nên $S^2=\frac{139786}{160}-29,375^2\approx 10,8\ne 23,5$ → Sai.

Khớp với đáp án chính thức (mã đề 0101, Phần II Câu 2: S S Đ S).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên $R=38-23=15\ne 35$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$Q_1=26+\frac{40-24}{57}\cdot 3=\frac{510}{19}\approx 26,84\ne \frac{501}{19}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$Q_3=29+\frac{120-81}{42}\cdot 3=\frac{445}{14}$, nên $\Delta Q=\frac{445}{14}-\frac{510}{19}=\frac{1315}{266}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\bar{x}=29,375$, với $\sum f_i{x}_i^2=139786$ ta được $S^2=\frac{139786}{160}-29,375^2\approx 10,8\ne 23,5$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Giá trị đại diện mỗi nhóm là trung bình cộng hai đầu mút: 5,5; 6,5; 7,5; 8,5; 9,5, tần số giữ nguyên như bảng → ĐÚNG.

b) Trường A: n = 18. Q1 ở vị trí 0,25·18 = 4,5 thuộc nhóm [6;7): Q1 = 6 + (4,5 − 4)/5 = 6,1. Q3 ở vị trí 0,75·18 = 13,5 thuộc nhóm [8;9) (tần số tích lũy 4, 9, 12, 16): Q3 = 8 + (13,5 − 12)/4 = 8,375. Vậy Δq = 8,375 − 6,1 = 2,275 → ĐÚNG.

c) Trường B: n = 15. Q1 ở vị trí 3,75 thuộc nhóm [6;7): Q1 = 6 + (3,75 − 2)/5 = 6,35. Q3 ở vị trí 11,25 thuộc nhóm [8;9) (tần số tích lũy 2, 7, 11, 14): Q3 = 8 + (11,25 − 11)/3 ≈ 8,083. Δq_B ≈ 1,733 < 2,275 = Δq_A, nên theo khoảng tứ phân vị trường B đồng đều hơn → ĐÚNG.

d) Trường A: mean = 130/18 ≈ 7,222; s² = 970,5/18 − (130/18)² ≈ 1,756, s_A ≈ 1,325. Trường B: mean = 108,5/15 ≈ 7,233; s² = 803,75/15 − (108,5/15)² ≈ 1,263, s_B ≈ 1,124. Vì s_A > s_B nên theo độ lệch chuẩn trường B đồng đều hơn, không phải trường A → SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị đại diện là trung bình cộng hai đầu mút mỗi nhóm: 5,5; 6,5; 7,5; 8,5; 9,5, tần số như bảng đã cho.
b) (AI giải đề cho tôi)
Q1 = 6 + (4,5−4)/5 = 6,1; Q3 = 8 + (13,5−12)/4 = 8,375; Δq = 2,275.
c) (AI giải đề cho tôi)
Δq_B ≈ 8,083 − 6,35 = 1,733 < 2,275 nên B đồng đều hơn A theo khoảng tứ phân vị.
d) (AI giải đề cho tôi)
s_A ≈ 1,325 > s_B ≈ 1,124 nên theo độ lệch chuẩn trường B đồng đều hơn trường A.

(AI giải đề cho tôi)
Tính theo giá trị đại diện các nhóm: 15,5; 18,5; 21,5; 24,5; 27,5; 30,5.

Tỉnh A (tần số 1,2,1,4,2,2): $\overline{x_A}=\frac{15,5+2\cdot 18,5+21,5+4\cdot 24,5+2\cdot 27,5+2\cdot 30,5}{12}=\frac{288}{12}=24$. $s_A^2=\frac{1}{12}\left[1\cdot (-8,5{)}^2+2\cdot (-5,5{)}^2+1\cdot (-2,5{)}^2+4\cdot 0,5^2+2\cdot 3,5^2+2\cdot 6,5^2\right]=\frac{249}{12}=20,75$, nên $s_A\approx 4,56$.

Tỉnh B (tần số 1,2,1,3,2,3): $\overline{x_B}=\frac{294}{12}=24,5$ (đúng như ý d). $s_B^2=\frac{1}{12}\left[81+2\cdot 36+9+0+2\cdot 9+3\cdot 36\right]=\frac{288}{12}=24$, nên $s_B=\sqrt{24}\approx 4,9$ (đúng như ý a).

Vì $s_A\approx 4,56<s_B\approx 4,9$ nên tỉnh A đồng đều hơn tỉnh B (ý c đúng). Ý b sai vì $s_A^2=20,75\ne 21,75$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $\overline{x_B}=24,5$, $s_B^2=\frac{288}{12}=24$ nên $s_B=\sqrt{24}\approx 4,9$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $\overline{x_A}=24$, $s_A^2=\frac{249}{12}=20,75\ne 21,75$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $s_A\approx 4,56<s_B\approx 4,9$ nên nhiệt độ tỉnh A đồng đều hơn tỉnh B.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overline{x_B}=\frac{15,5+2\cdot 18,5+21,5+3\cdot 24,5+2\cdot 27,5+3\cdot 30,5}{12}=\frac{294}{12}=24,5$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Cỡ mẫu $n=4+13+16+17=50$. Đúng.
b) Khoảng biến thiên của mẫu ghép nhóm là $12-0=12\ne 9$. Sai.
c) $\frac{n}{4}=12,5$; tích lũy tiếp diễn: 4, 17, 33, 50 nên $Q_1$ thuộc nhóm $[3;6)$: $Q_1=3+\frac{12,5-4}{13}\cdot 3\approx 4,96$. Đúng.
d) Giá trị đại diện: 1,5; 4,5; 7,5; 10,5. Số trung bình $\bar{x}=\frac{1,5\cdot 4+4,5\cdot 13+7,5\cdot 16+10,5\cdot 17}{50}=\frac{363}{50}=7,26$. Phương sai $s^2=\frac{2,25\cdot 4+20,25\cdot 13+56,25\cdot 16+110,25\cdot 17}{50}-7,26^2=60,93-52,7076=8,2224>8$. Đúng.
Kết quả khớp đáp án nguồn: a Đúng, b Sai, c Đúng, d Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$n=4+13+16+17=50$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên $=12-0=12\ne 9$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{n}{4}=12,5$ nằm trong nhóm tích lũy $[3;6)$ (4 đến 17); $Q_1\approx 4,96$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\bar{x}=7,26$, $s^2=60,93-52,7076=8,2224>8$.

(AI giải đề cho tôi)
Bảng 1 (Dũng): ${\bar{x}}_1=\frac{3\cdot 6,34+7\cdot 6,58+5\cdot 6,82+20\cdot 7,06+5\cdot 7,30}{40}=\frac{276,88}{40}=6,922\approx 6,92$ m → a đúng. Phương sai bảng 1: $\frac{1}{40}\sum f_i{x}_i^2=\frac{1919,5456}{40}=47,98864$; $s_1^2=47,98864-6,922^2\approx 0,0746$, $s_1\approx 0,27$ m ≠ 0,26 → b sai. Bảng 2 (Huy): ${\bar{x}}_2=\frac{278,08}{40}=6,952$; $\frac{1}{40}\sum f_i{x}_i^2=\frac{1935,7408}{40}=48,39352$; $s_2^2=48,39352-6,952^2\approx 0,0632\approx 0,06$ ≠ 0,16 → c sai. Vì $s_1^2\approx 0,07>s_2^2\approx 0,06$, Huy đồng đều hơn Dũng → d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tổng $f_i{x}_i=276,88$, số trung bình $=6,922\approx 6,92$ m.
b) (AI giải đề cho tôi)
$s^2\approx 0,0746$ nên $s\approx 0,27$ m, không phải 0,26 m.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\bar{x}=6,952$, $s^2\approx 0,0632\approx 0,06$, không phải 0,16.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phương sai của Dũng ($\approx 0,0746$) lớn hơn của Huy ($\approx 0,0632$), nên Huy đồng đều hơn.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=18+20+13+1+16+16=84$, nên $\frac{n}{4}=21$ và $\frac{3n}{4}=63$.

Tứ phân vị thứ nhất: nhóm chứa vị trí thứ 21 là $[4;7)$ (vì tần số tích lũy đến $[1;4)$ là 18, đến $[4;7)$ là 38). Theo công thức tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm:
$$Q_1=4+\frac{21-18}{20}\cdot (7-4)=4+\frac{9}{20}=4,45.$$

Tứ phân vị thứ ba: nhóm chứa vị trí thứ 63 là $[13;16)$ (tần số tích lũy đến $[10;13)$ là 52, đến $[13;16)$ là 68):
$$Q_3=13+\frac{63-52}{16}\cdot (16-13)=13+\frac{33}{16}=15,0625.$$

Khoảng tứ phân vị:
$${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=15,0625-4,45=10,6125\approx 10,6.$$

(AI giải đề cho tôi)
Giá trị đại diện các nhóm: 72, 75, 78, 81, 84 với tần số 1, 1, 2, 6, 2 (n = 12). Số trung bình: $\bar{x}=\frac{72+75+78\cdot 2+81\cdot 6+84\cdot 2}{12}=\frac{957}{12}=79,75$. Phương sai: $s^2=\frac{1}{12}\left[1\cdot (72-79,75{)}^2+1\cdot (75-79,75{)}^2+2\cdot (78-79,75{)}^2+6\cdot (81-79,75{)}^2+2\cdot (84-79,75{)}^2\right]=\frac{60,0625+22,5625+6,125+9,375+36,125}{12}=\frac{134,25}{12}=11,1875$. Vậy chọn D. (Lưu ý 134,25 là tổng bình phương độ lệch chưa chia cho n, nên A là bẫy.)

(AI giải đề cho tôi)
a) R = 9,4 − 8,4 = 1 m → đúng.
b) Tần số cộng dồn: 5; 17; 42; 86; 100. Vị trí 3n/4 = 75 thuộc nhóm [9,0;9,2): Q3 = 9,0 + (75−42)/44·0,2 = 9,15 → đúng.
c) Q1: vị trí n/4 = 25 thuộc nhóm [8,8;9,0): Q1 = 8,8 + (25−17)/25·0,2 = 8,864. ΔQ = 9,15 − 8,864 = 0,286 → đúng.
d) Giới hạn ngoại lệ: [Q1 − 1,5ΔQ; Q3 + 1,5ΔQ] = [8,864 − 0,429; 9,15 + 0,429] = [8,435; 9,579]. Vì 8,4 < 8,435 nên cây cao 8,4 m là giá trị ngoại lệ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
R = 9,4 − 8,4 = 1 m → đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tần số cộng dồn: 5; 17; 42; 86; 100. Vị trí 75 thuộc nhóm [9,0;9,2): Q3 = 9,0 + (75−42)/44·0,2 = 9,15 → đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Q1 = 8,8 + (25−17)/25·0,2 = 8,864; ΔQ = 9,15 − 8,864 = 0,286 → đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giới hạn ngoại lệ: [8,435; 9,579]. Vì 8,4 < 8,435 nên cây cao 8,4 m là giá trị ngoại lệ → đúng.

(AI giải đề cho tôi)
a) Số trung bình mẫu ghép nhóm (dùng giá trị đại diện nhóm):
Bảng 1 (Hùng): ${\bar{x}}_1=\frac{22,5\cdot 2+27,5\cdot 16+32,5\cdot 20+37,5\cdot 2}{40}=\frac{1210}{40}=30,25$ cm.
Bảng 2 (Vương): ${\bar{x}}_2=\frac{22,5\cdot 5+27,5\cdot 9+32,5\cdot 25+37,5\cdot 1}{40}=\frac{1210}{40}=30,25$ cm.
Hai số trung bình bằng nhau nên ý a) SAI.
b) Khoảng biến thiên $R=40-20=20$ với cả hai mẫu → ý b) ĐÚNG.
c) Bảng 1: $Q_1$ thuộc nhóm $[25;30)$: $Q_1=25+\frac{10-2}{16}\cdot 5=27,5$; $Q_3$ thuộc nhóm $[30;35)$: $Q_3=30+\frac{30-18}{20}\cdot 5=33$; $\Delta Q=33-27,5=5,5$ → ý c) ĐÚNG.
d) Phương sai mẫu Hùng: $s_1^2=\frac{2(22,5-30,25{)}^2+16(27,5-30,25{)}^2+20(32,5-30,25{)}^2+2(37,5-30,25{)}^2}{40}=\frac{447,5}{40}=11,1875$.
Phương sai mẫu Vương: $s_2^2=\frac{5(60,0625)+9(7,5625)+25(5,0625)+1(52,5625)}{40}=\frac{547,5}{40}=13,6875$.
Vì $13,6875>11,1875$, cây của Vương phân tán hơn (không đồng đều hơn) cây của Hùng → ý d) SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Cả hai mẫu đều có số trung bình $\bar{x}=30,25$ cm nên chiều cao trung bình bằng nhau.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$R=40-20=20$ cho cả hai mẫu.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$Q_1=27,5$; $Q_3=33$ nên $\Delta Q=5,5$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Phương sai mẫu Vương $13,6875$ lớn hơn phương sai mẫu Hùng $11,1875$ nên cây của Vương phân tán hơn, không đồng đều hơn.

(AI giải đề cho tôi)
Tính trung bình: $\bar{x}=\frac{500\cdot 5+1500\cdot 46+2500\cdot 162+3500\cdot 25+4500\cdot 12}{250}=\frac{618000}{250}=2472$ (giờ). Phương sai: $s^2=\frac{5(500-2472{)}^2+46(1500-2472{)}^2+162(2500-2472{)}^2+25(3500-2472{)}^2+12(4500-2472{)}^2}{250}=\frac{138804000}{250}=555216$. Độ lệch chuẩn $s=\sqrt{555216}\approx 745,13\approx 745$ (giờ). Vì $745>500$ nên lô hàng không đạt tiêu chuẩn, độ lệch chuẩn vượt tiêu chuẩn khoảng $745$ giờ.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 6. Mẫu số liệu ghép nhóm, $n=100$, các nhóm có độ dài bằng nhau $d=20$.

a) Khoảng biến thiên: $R=100-0=100$.

Tìm $Q_1$: vì $n/4=25$ và $6<25\le 38$ nên $Q_1$ thuộc nhóm $[20;40)$ ($x_1=20$, $n_1=6$, $n_2=32$):
$$Q_1=20+\frac{25-6}{32}\cdot 20=20+11,875=31,875\approx 32.$$

Tìm $Q_3$: vì $3n/4=75$ và $38<75\le 88$ nên $Q_3$ thuộc nhóm $[40;60)$ ($x_3=40$, $n_3=50$, $CF=38$):
$$Q_3=40+\frac{75-38}{50}\cdot 20=40+14,8=54,8\approx 55.$$

Khoảng tứ phân vị: ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=54,8-31,875=22,925\approx 23$.

b) Nên dùng khoảng tứ phân vị. Vì mẫu số liệu có giá trị đặc biệt nhỏ (nhóm $[0;20)$ chỉ có 6 người) và giá trị đặc biệt lớn (nhóm $[80;100)$ chỉ có 2 người); khoảng biến thiên $R=100$ bị ảnh hưởng bởi các giá trị này nên không phản ánh tốt mức độ phân tán. Khoảng tứ phân vị ($\approx 23$) không chịu ảnh hưởng của các giá trị ngoại lai nên cho đánh giá tin cậy hơn về mức độ biến thiên của phần lớn dữ liệu.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=160$, nên $Q_1$ ở vị trí thứ $\frac{160}{4}=40$ và $Q_3$ ở vị trí thứ $\frac{3\cdot 160}{4}=120$. Tần số tích lũy: $23;63;119;152;160$. Ta có $Q_1$ thuộc nhóm $[26;29)$: $Q_1=26+\frac{3(40-23)}{40}=26+1,275=27,275$. Ta có $Q_3$ thuộc nhóm $[32;35)$: $Q_3=32+\frac{3(120-119)}{33}=32+\frac{1}{11}\approx 32,0909$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1\approx 32,0909-27,275=4,8158\approx 4,8$, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=160$, nên $Q_1$ ở vị trí $\frac{160}{4}=40$ và $Q_3$ ở vị trí $\frac{3\cdot 160}{4}=120$. Tần số tích lũy: 23; 63; 119; 152; 160. Vì $23<40\le 63$ nên $Q_1\in [26;29)$: $Q_1=26+\frac{3(40-23)}{40}=27,275$. Vì $119<120\le 152$ nên $Q_3\in [32;35)$: $Q_3=32+\frac{3(120-119)}{33}=32+\frac{1}{11}\approx 32,0909$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1\approx 32,0909-27,275=4,8159\approx 4,8$, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=23+40+56+33+8=160$. Vị trí tứ phân vị: $\frac{n}{4}=40$, $\frac{3n}{4}=120$. Tần số tích lũy: 23; 63; 119; 152; 160.
- $Q_1$ thuộc nhóm $[26;29)$: $Q_1=26+\frac{3(40-23)}{40}=26+\frac{51}{40}=27,275$.
- $Q_3$ thuộc nhóm $[32;35)$: $Q_3=32+\frac{3(120-119)}{33}=32+\frac{3}{33}\approx 32,0909$.
Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1\approx 32,0909-27,275=4,8159\approx 4,8$, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=56$. a) Khoảng biến thiên $=24,5-9,5=15$ → đúng. b) Vị trí $Q_3$: $0,75\cdot 56=42$; tần số tích lũy: $4,16,30,53$ nên $Q_3$ thuộc nhóm $[18,5;21,5)$, không phải $[15,5;18,5)$ → sai. c) Vị trí $Q_1$: $0,25\cdot 56=14$, thuộc nhóm $[12,5;15,5)$: $Q_1=12,5+\frac{14-4}{12}\cdot 3=15$ → đúng. d) $Q_3=18,5+\frac{42-30}{23}\cdot 3=18,5+\frac{36}{23}\approx 20,065$; khoảng tứ phân vị $=Q_3-Q_1\approx 5,065<6$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên $=24,5-9,5=15$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$0,75\cdot 56=42$; tần số tích lũy đến nhóm $[15,5;18,5)$ là $30$, đến nhóm $[18,5;21,5)$ là $53$, nên $Q_3$ thuộc nhóm $[18,5;21,5)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$0,25\cdot 56=14$ thuộc nhóm $[12,5;15,5)$: $Q_1=12,5+\frac{14-4}{12}\cdot 3=15$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$Q_3=18,5+\frac{42-30}{23}\cdot 3\approx 20,065$; $IQR\approx 20,065-15=5,065<6$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: tổng tần số 6+2+4+4+6+8=30 nên kích thước mẫu là 30.

b) Sai: Các giá trị đại diện: 48,75; 49,25; 49,75; 50,25; 50,75; 51,25 với tần số 6;2;4;4;6;8. Tần số tích lũy: 6; 8; 12; 16; 22; 30. Q1 ở vị trí 30/4=7,5 thuộc nhóm [49,5;50): Q1=49,5+(7,5−6)/4·0,5=49,6875. Q3 ở vị trí 22,5 thuộc nhóm [51;51,5): Q3=51+(22,5−22)/8·0,5=51,03125. IQR=51,03125−49,6875=1,34375≠3.

c) Sai: x̄=(6·48,75+2·49,25+4·49,75+4·50,25+6·50,75+8·51,25)/30=1505,5/30≈50,18≠50,32.

d) Sai: Σn_i x_i²=75576,875, nên (1/30)Σn_i x_i²≈2519,2292; s²=2519,2292−(50,1833)²≈0,8597≠0,7009 (độ lệch chuẩn ≈0,9272).
a) (AI giải đề cho tôi)
Tổng tần số 6+2+4+4+6+8=30, nên kích thước mẫu ghép nhóm là 30.
b) (AI giải đề cho tôi)
Q1=49,6875 (nhóm [49,5;50)), Q3=51,03125 (nhóm [51;51,5)), nên khoảng tứ phân vị IQR=1,34375, không phải 3.
c) (AI giải đề cho tôi)
x̄=1505,5/30≈50,18, không phải 50,32.
d) (AI giải đề cho tôi)
s²=(1/30)Σn_i x_i²−x̄²≈2519,2292−2518,3694≈0,8597, độ lệch chuẩn ≈0,9272, không phải 0,7009.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=1+4+8+12+3+2=30$. Tần số tích lũy: 1; 5; 13; 25; 28; 30.
Tứ phân vị thứ nhất: vị trí $\frac{n}{4}=7,5$ thuộc nhóm $[95;100)$:
$$Q_1=95+\frac{7,5-5}{8}\cdot 5=95+1,5625=96,5625.$$
Tứ phân vị thứ ba: vị trí $\frac{3n}{4}=22,5$ thuộc nhóm $[100;105)$:
$$Q_3=100+\frac{22,5-13}{12}\cdot 5=100+\frac{47,5}{12}\approx 103,9583.$$
Khoảng tứ phân vị:
$${\Delta }_Q=Q_3-Q_1\approx 103,9583-96,5625=7,3958\approx 7,4.$$

(AI giải đề cho tôi)
Lấy giá trị đại diện các nhóm: $x_1=19,25;x_2=19,75;x_3=20,25;x_4=20,75;x_5=21,25$ với tần số $13;45;24;12;6$, cỡ mẫu $n=100$.

Tần số tích lũy: 13, 58, 82, 94, 100.

Số trung bình: $$\bar{x}=\frac{13\cdot 19,25+45\cdot 19,75+24\cdot 20,25+12\cdot 20,75+6\cdot 21,25}{100}=\frac{2001,5}{100}=20,015.$$

Tính $\sum n_i{x}_i^2=13\cdot 370,5625+45\cdot 390,0625+24\cdot 410,0625+12\cdot 430,5625+6\cdot 451,5625=40087,75$.

Phương sai: $$s^2=\frac{40087,75}{100}-(20,015{)}^2=400,8775-400,600225=0,277275.$$

Độ lệch chuẩn: $$s=\sqrt{0,277275}\approx 0,5266\approx 0,53.$$

(AI giải đề cho tôi)
Tính số trung bình: $\bar{x}=\frac{4\cdot 42,5+14\cdot 47,5+8\cdot 52,5+10\cdot 57,5+6\cdot 62,5+2\cdot 67,5}{44}=\frac{2340}{44}\approx 53,18$. Tính $\sum n_i{x}_i^2=4\cdot 1806,25+14\cdot 2256,25+8\cdot 2756,25+10\cdot 3306,25+6\cdot 3906,25+2\cdot 4556,25=126475$. Phương sai: $s^2=\frac{126475}{44}-{\left(\frac{2340}{44}\right)}^2\approx 2874,43-2828,31\approx 46,1$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Cả hai lớp có khoảng biến thiên như nhau $R=10-5=5$, nên không thể kết luận lớp 12A phân tán hơn qua khoảng biến thiên → a) sai.

Lớp 12A ($n=30$): tần số tích lũy $0;2;8;20;30$. Q1 thuộc nhóm $[7;8)$: $Q_1=7+\frac{7,5-2}{6}\cdot 1\approx 7,917$; Q3 thuộc nhóm $[8;9)$: $Q_3=8+\frac{22,5-8}{12}\cdot 1\approx 9,208$. Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q\approx 1,292>1$ → b) đúng.

Lớp 12B: tần số tích lũy $2;14;24;30;30$. $Q_1=6+\frac{7,5-2}{12}\approx 6,458$; $Q_3=7+\frac{22,5-14}{10}=7,85$; ${\Delta }_Q\approx 1,392$. So sánh: $1,292<1,392$, khoảng tứ phân vị của 12A nhỏ hơn của 12B → c) sai.

Điểm trung bình đại diện: 12A: ${\bar{x}}_A=\frac{2\cdot 6,5+6\cdot 7,5+12\cdot 8,5+10\cdot 9,5}{30}=\frac{255}{30}=8,5$; 12B: ${\bar{x}}_B=\frac{2\cdot 5,5+12\cdot 6,5+10\cdot 7,5+6\cdot 8,5}{30}=\frac{215}{30}\approx 7,167$. Vậy ${\bar{x}}_B<{\bar{x}}_A$ → d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Cả hai lớp đều có khoảng biến thiên $R=10-5=5$, bằng nhau nên không kết luận 12A phân tán hơn.
b) (AI giải đề cho tôi)
$Q_1\approx 7,917$, $Q_3\approx 9,208$ nên ${\Delta }_Q\approx 1,292>1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\Delta }_Q(12A)\approx 1,292<{\Delta }_Q(12B)\approx 1,392$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\bar{x}}_A=8,5>{\bar{x}}_B\approx 7,167$ nên điểm trung bình của 12B nhỏ hơn của 12A.