Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Dấu tam thức, BPT bậc hai (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $f(x)=2x^2-7x-9$ có $a=2>0$. Giải $2x^2-7x-9=0$: $\Delta =49+72=121$, $\sqrt{\Delta }=11$, nên $x=\frac{7\pm 11}{4}$, tức $x_1=-1$, $x_2=\frac{9}{2}$. Vì $a>0$, tam thức nhận giá trị âm khi $x\in \left(-1;\frac{9}{2}\right)$. Các giá trị nguyên trong khoảng này là $0,1,2,3,4$, gồm 5 giá trị. Vậy có 5 số giá trị nguyên của $x$ để $f(x)<0$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức bậc hai $f(x)=a{x}^2+bx+c$ với $a>0$ nên parabol hướng lên. Vì $\Delta \le 0$ nên phương trình $f(x)=0$ vô nghiệm hoặc nghiệm kép, do đó $f(x)$ không đổi dấu trên $\mathbb{R}$ và mang dấu của $a>0$. Vậy $f(x)\ge 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ (dấu bằng xảy ra khi $\Delta =0$). Chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $-x^2+5x-4\le 0\iff x^2-5x+4\ge 0$. Tam thức $x^2-5x+4$ có hai nghiệm $x=1$ và $x=4$ (vì $1+4=5$, $1\cdot 4=4$), hệ số $a=1>0$ nên tam thức dương ngoài khoảng nghiệm. Vậy tập nghiệm là $(-\infty ;1]\cup [4;+\infty )$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu, $f(x)$ có hai nghiệm $x=-2$ và $x=4$, âm khi $x<-2$ hoặc $x>4$ và dương khi $-2<x<4$, nên tam thức có $a<0$ và dạng $f(x)=a(x+2)(x-4)$. Chọn $a=-1$ ta được $f(x)=-(x+2)(x-4)=-x^2+2x+8$. Kiểm tra: $f(0)=8>0$ (đúng, dương trên $(-2;4)$), $f(5)=-25+10+8=-7<0$ (đúng). Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $x^2-5x+6$ có hai nghiệm $x=2$ và $x=3$ (vì $2+3=5$, $2\cdot 3=6$), hệ số $a=1>0$ nên tam thức âm hoặc bằng 0 giữa hai nghiệm. Vậy tập nghiệm của $x^2-5x+6\le 0$ là $[2;3]$. Kiểm tra: tại $x=2$, $4-10+6=0\le 0$; tại $x=2,5$: $6,25-12,5+6=-0,25\le 0$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=m{x}^2+(2m-1)x+m+1<0$. Với $m=0$: $-x+1<0\iff x>1$, có nghiệm. Với $m\ne 0$: bất phương trình bậc hai có nghiệm khi $\Delta >0$: $\Delta =(2m-1{)}^2-4m(m+1)=4m^2-4m+1-4m^2-4m=1-8m>0\iff m<\frac{1}{8}$. Vậy $S=(-\infty ;\frac{1}{8})$. Trong các khoảng đã cho, chỉ có $(-1;0)\subset (-\infty ;\frac{1}{8})$ (các khoảng $(0;1)$, $(1;2)$, $(-2;3)$ đều chứa điểm $>\frac{1}{8}$). Vậy đáp án C, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu, $f(x)$ có hai nghiệm $x=1$ và $x=3$, đổi dấu $+$ sang $-$ nên $f(x)=(x-1)(x-3)=x^2-4x+3$, suy ra $a=4$, $b=3$.
a) $f(x)<0$ trên khoảng giữa hai nghiệm: $1<x<3$. Đúng.
b) $f(4)=(4-1)(4-3)=3\cdot 1=3$. Đúng.
c) $(x^2-3x+2)f(x)\le 0\iff (x-1)(x-2)(x-3)\le 0$. Xét dấu: nghiệm $x=1,2,3$; biểu thức $\le 0$ khi $x\in [2;3]\cup \{1\}$ (tại $x=1$ biểu thức bằng 0). Do đó khẳng định nghiệm chỉ là $[2;3]$ là sai vì thiếu $x=1$. Sai.
d) $a+b=4+3=7$. Đúng.
Kết quả khớp đáp án chính thức mã đề 1102, Câu 4: a Đ, b Đ, c S, d Đ.
a) Theo bảng xét dấu, $f(x)<0$ trên khoảng giữa hai nghiệm, tức $1<x<3$. Đúng. (Đáp án chính thức mã đề 1102, Câu 4a: Đ)
b) Từ bảng xét dấu, $f(x)=(x-1)(x-3)=x^2-4x+3$, nên $f(4)=3\cdot 1=3$. Đúng. (Đáp án chính thức mã đề 1102, Câu 4b: Đ)
c) Với $f(x)=(x-1)(x-3)$, bất phương trình $(x-1)(x-2)(x-3)\le 0$ có nghiệm $x\in [2;3]\cup \{1\}$, không chỉ $[2;3]$ (tại $x=1$ biểu thức bằng 0 nên cũng thỏa). Sai. (Đáp án chính thức mã đề 1102, Câu 4c: S)
d) Vì $f(x)=(x-1)(x-3)=x^2-4x+3$ nên $a=4$, $b=3$, do đó $a+b=7$. Đúng. (Đáp án chính thức mã đề 1102, Câu 4d: Đ)

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=m{x}^2+(2m-1)x+m+1<0$. Với $m=0$: $-x+1<0\iff x>1$, có nghiệm nên $m=0\in S$. Với $m\ne 0$: bất phương trình bậc hai có nghiệm $\iff \Delta =(2m-1{)}^2-4m(m+1)=4m^2-4m+1-4m^2-4m=1-8m>0\iff m<\frac{1}{8}$. Vậy $S=(-\infty ;\frac{1}{8}]$. Kiểm tra các khoảng: $(0;1)$ không chứa trong $S$ vì $m=\frac{1}{2}>\frac{1}{8}$; $(1;2)$ và $(-2;3)$ cũng chứa các giá trị $m>\frac{1}{8}$. Khoảng $(-1;0)\subset S$. Đáp án D, trùng với đáp án nguồn (Mã 1102, Câu 5: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x+1}{x^2-2x-3-m}$ xác định trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi mẫu số $x^2-2x-3-m\ne 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, tức phương trình $x^2-2x-3-m=0$ vô nghiệm. Xét biệt thức $\Delta =(-2{)}^2-4(1)(-3-m)=4+12+4m=16+4m$. Yêu cầu $\Delta <0\iff 16+4m<0\iff m<-4$. Vậy đáp án là $m<-4$, trùng với đáp án A trong nguồn (Mã đề 1102, Câu 6: A).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=m{x}^2+(2m-1)x+m+1<0$.
- Với $m=0$: $-x+1<0\iff x>1$, có nghiệm nên $0\in S$.
- Với $m\ne 0$: bất phương trình bậc hai có nghiệm khi $\Delta >0$: $\Delta =(2m-1{)}^2-4m(m+1)=4m^2-4m+1-4m^2-4m=1-8m>0\iff m<\frac{1}{8}$.
Vậy $S=(-\infty ;\frac{1}{8})\cup \{0\}$.
Kiểm tra các khoảng: $(0;1)$ chứa $m=\frac{1}{2}\notin S$; $(-1;0)\subset (-\infty ;\frac{1}{8})\subset S$; $(-2;3)$ chứa $m=1\notin S$; $(1;2)\cap S=\varnothing$.
Vậy $S$ chứa khoảng $(-1;0)$, đáp án B (khớp đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu, $f(x)=x^2-ax+b$ có hai nghiệm $x=1$ và $x=3$ với hệ số $a=1$, nên $f(x)=(x-1)(x-3)=x^2-4x+3$, suy ra $a=4$, $b=3$.

a) $f(4)=16-16+3=3$ → đúng.
b) $a+b=4+3=7$ → đúng.
c) Vì hệ số $a=1>0$, tam thức âm giữa hai nghiệm: $f(x)<0\iff 1<x<3$ → đúng.
d) $(x^2-3x+2)f(x)=(x-1)(x-2)\cdot (x-1)(x-3)=(x-1{)}^2(x-2)(x-3)\le 0$. Vì $(x-1{)}^2\ge 0$, bất đẳng thức tương đương $(x-2)(x-3)\le 0$ hoặc $x=1$, tức $x\in [2;3]\cup \{1\}$. Vì $x=1$ cũng thỏa mãn nhưng không thuộc $[2;3]$, khẳng định 'thì $x\in [2;3]$' là sai.

Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=(x-1)(x-3)=x^2-4x+3$, nên $f(4)=16-16+3=3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
So sánh $f(x)=x^2-4x+3$ với $x^2-ax+b$ được $a=4$, $b=3$, nên $a+b=7$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tam thức có hệ số $a=1>0$ nên $f(x)<0$ giữa hai nghiệm: $1<x<3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$(x^2-3x+2)f(x)=(x-1{)}^2(x-2)(x-3)\le 0\iff (x-2)(x-3)\le 0$ hoặc $x=1$, tức $x\in [2;3]\cup \{1\}$. Vì $x=1$ thỏa nhưng không thuộc $[2;3]$, khẳng định sai.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x+1}{x^2-2x-3-m}$ xác định trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi mẫu số $x^2-2x-3-m\ne 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, tức là phương trình $x^2-2x-3-m=0$ vô nghiệm. Xét biệt thức: $\Delta =(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot (-3-m)=4+12+4m=16+4m$. Yêu cầu $\Delta <0\iff 16+4m<0\iff m<-4$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (Mã 1101, Câu 9: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu: f(x) có hai nghiệm phân biệt x = -2 và x = 4, f(x) âm khi x < -2 hoặc x > 4 và dương khi -2 < x < 4. a) Hai nghiệm phân biệt nên Δ = b² - 4ac > 0, đúng. b) Vì f(x) âm khi x → ±∞ nên a < 0, khẳng định a > 0 sai. c) f(x) ≥ 0 khi và chỉ khi -2 ≤ x ≤ 4, tập nghiệm S = [-2; 4], đúng. d) Trục đối xứng đi qua trung điểm hai nghiệm: x = (-2 + 4)/2 = 1, đúng. Khớp với đáp án nguồn: a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tam thức có hai nghiệm phân biệt -2 và 4 nên Δ = b² - 4ac > 0.
b) (AI giải đề cho tôi)
f(x) âm khi x tiến tới ±∞ nên a < 0; do đó a > 0 là sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với a < 0, f(x) ≥ 0 giữa hai nghiệm: S = [-2; 4].
d) (AI giải đề cho tôi)
Trục đối xứng: x = (-2 + 4)/2 = 1.

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $f(x)=-2x^2+(m+2)x+m-4$ có $a=-2<0$. Bất phương trình $f(x)\ge 0$ vô nghiệm khi và chỉ khi $f(x)<0$ với mọi $x$, tức parabol nằm hoàn toàn dưới trục hoành, tương đương $\Delta <0$: $$\Delta =(m+2{)}^2-4(-2)(m-4)=m^2+4m+4+8m-32=m^2+12m-28<0.$$ Phương trình $m^2+12m-28=0$ có nghiệm $m=\frac{-12\pm \sqrt{144+112}}{2}=\frac{-12\pm 16}{2}$, tức $m=-14$ hoặc $m=2$. Vậy $-14<m<2$. Các giá trị nguyên của $m$: $-13,-12,\dots ,0,1$, tổng cộng $1-(-13)+1=15$ giá trị. Kết quả khớp với đáp số nguồn (15).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $x^2-2x-3>0$. Phân tích: $x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$, có hai nghiệm phân biệt $x=-1$ và $x=3$, hệ số $a=1>0$ nên tam thức dương ngoài khoảng hai nghiệm. Vậy tập nghiệm là $(-\infty ;-1)\cup (3;+\infty )$, trùng với đáp án A (khớp bảng đáp án ở trang 4).

(AI giải đề cho tôi)
Bảng xét dấu cho $f(x)$ âm trên $(0;4)$ và dương ngoài khoảng, với nghiệm $x=0$ và $x=4$, hệ số $a>0$. Xét các phương án: $f(x)=x^2-4x=x(x-4)$ có nghiệm $0$ và $4$, $a=1>0$, nên $f(x)>0$ khi $x<0$ hoặc $x>4$, $f(x)<0$ khi $0<x<4$ — khớp bảng xét dấu. Các phương án B, D có nghiệm khác (0 và $-2$; 0 và 2), phương án C có $a<0$ cho dấu ngược lại. Đáp án A trùng với đáp án nguồn (trang 4).

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $f(x)=x^2-x-6$ có hai nghiệm $x=-2$ và $x=3$ (vì $a+b+c=1-1-6$... kiểm tra: $(-2{)}^2-(-2)-6=0$, $3^2-3-6=0$), hệ số $a=1>0$ nên $f(x)>0$ khi $x<-2$ hoặc $x>3$, $f(x)<0$ khi $-2<x<3$. Do đó: B đúng ($x>3$ thì $f(x)>0$), C đúng ($x<-2$ thì $f(x)>0$), D đúng (tập nghiệm $S=\{-2;3\}$). A sai vì trên $(-\infty ;-2)$ ta có $f(x)>0$, không phải $f(x)<0$ với mọi $x\in (-\infty ;3)$. Vậy phát biểu sai là A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu, $f(x)=0$ tại $x=1$ và $x=4$; $f(x)<0$ trên $(-\infty ;1)\cup (4;+\infty )$ và $f(x)>0$ trên $(1;4)$. a) Sai: $f(x)$ âm khi $x\in (-\infty ;1)\cup (4;+\infty )$, không phải $(-\infty ;-1)$. b) Sai: $f(x)$ âm trên $(-\infty ;1)\cup (4;+\infty )$. c) Đúng: $f(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt $x=1$, $x=4$ nên $\Delta >0$. d) Sai: vì $f(x)$ âm khi $x\to \pm \infty$ nên parabol hướng xuống, $a<0$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Bảng xét dấu cho $f(x)<0$ trên $(-\infty ;1)\cup (4;+\infty )$, hai nghiệm là $1$ và $4$ chứ không phải $-1$ và $4$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)$ nhận giá trị âm trên $(-\infty ;1)\cup (4;+\infty )$, ví dụ $f(0)<0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Bảng xét dấu có hai vị trí $f(x)=0$ tại $x=1$ và $x=4$, nên phương trình $f(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt ($\Delta >0$).
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $f(x)<0$ khi $x\to \pm \infty$ nên đồ thị parabol nhánh hướng xuống, suy ra $a<0$.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $x^2+(2m+1)x+m^2+3>0$ nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi $\Delta <0$. Ta có $\Delta =(2m+1{)}^2-4(m^2+3)=4m^2+4m+1-4m^2-12=4m-11<0\iff m<\frac{11}{4}$. Với $m\in [-10;10]$ nguyên: $m\in \{-10,-9,\dots ,2\}$, gồm $2-(-10)+1=13$ giá trị.