Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cấp số cộng (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Ba số $-x;12;2x-1$ lập thành cấp số cộng nên số hạng giữa bằng trung bình cộng của hai số còn lại: $2\cdot 12=(-x)+(2x-1)$. Suy ra $24=x-1$, tức $x=25$. Kiểm tra: ba số là $-25;12;49$ với công sai $d=17$, thỏa mãn. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1101, Câu 10: B).

(AI giải đề cho tôi) Từ $S_n=n^2+3n$ ta có $S_1=4$, $S_2=10$, suy ra $u_1=4$, $u_2=6$, $d=2$; do đó $u_n=2n+2$ và $u_{20}=42$. Đáp án nguồn (bảng mã đề 1101, câu 14): SDDS.
a) (AI giải đề cho tôi) Với $S_n=n^2+3n$: $S_1=1^2+3\cdot 1=4$ (đúng), nhưng $S_2=2^2+3\cdot 2=10\ne 8$. Vậy mệnh đề Sai.
b) (AI giải đề cho tôi) $u_1=S_1=4$; $u_2=S_2-S_1=10-4=6$, nên $d=u_2-u_1=6-4=2$. Vậy mệnh đề Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi) $u_n=u_1+(n-1)d=4+2(n-1)=2n+2=2+2n$. Vậy mệnh đề Đúng. (Lưu ý: bảng đáp án mã đề 1101, câu 14 cho mẫu SDDS, ý c) là Đ.)
d) (AI giải đề cho tôi) $u_{20}=2+2\cdot 20=42\ne 46$. Vậy mệnh đề Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi công sai là $d$. Ta có $v_3-v_6=(v_1+2d)-(v_1+5d)=-3d=-15$, suy ra $d=5$. Từ $v_1+v_2=v_1+(v_1+d)=2v_1+d=11$ suy ra $2v_1=6$, tức $v_1=3$. Khi đó $v_{25}=v_1+24d=3+24\cdot 5=123$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (123).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $v_n=\frac{1}{u_n}$. Từ $u_{n+1}=\frac{u_n}{2u_n+1}$, ta có $v_{n+1}=\frac{2u_n+1}{u_n}=2+\frac{1}{u_n}=v_n+2$. Vậy $(v_n)$ là cấp số cộng với $v_1=1$, công sai $d=2$. Do đó $T=v_1+v_2+...+v_{40}=\frac{40}{2}\left(2v_1+39d\right)=20(2+78)=1600$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 1600.

(AI giải đề cho tôi)
Công sai của cấp số cộng là $d=u_2-u_1=11-2=9$. Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1101, câu 5: D).

(AI giải đề cho tôi)
Số ghế các hàng lập thành cấp số cộng với số hạng đầu $u_1=20$, công sai $d=5$, số hàng $n=60$. Tổng số ghế: $$S_{60}=\frac{60}{2}\left[2\cdot 20+(60-1)\cdot 5\right]=30\left(40+295\right)=30\cdot 335=10050.$$ Vậy góc khán đài A có $10050$ ghế.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_1=4$, công sai $d=7-4=3$. Suy ra $u_n=u_1+(n-1)d=4+3(n-1)=3n+1$. Kiểm tra: $u_1=4$, $u_2=7$, $u_3=10$ đúng với dãy đã cho. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng $(u_n)$ có $u_2=5$, $u_5=14$. Công sai: $3d=u_5-u_2=14-5=9\Rightarrow d=3$. Số hàng thứ 10: $u_{10}=u_2+8d=5+8\cdot 3=29$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_1=9$, $d=2$, nên $u_2=u_1+d=9+2=11$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi ba cạnh là $a-d,a,a+d$ với $d>0$, cạnh huyền là $a+d$. Theo định lý Pythagoras: $(a-d{)}^2+a^2=(a+d{)}^2\Rightarrow a^2-2ad+d^2+a^2=a^2+2ad+d^2\Rightarrow a^2-4ad=0\Rightarrow a=4d$. Chu vi: $(a-d)+a+(a+d)=3a=3\Rightarrow a=1$, suy ra $d=\frac{a}{4}=\frac{1}{4}$. Vậy cạnh huyền $=a+d=1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$. Kiểm tra: các cạnh $\frac{3}{4},1,\frac{5}{4}$ thỏa ${\left(\frac{3}{4}\right)}^2+1^2=\frac{9}{16}+1=\frac{25}{16}={\left(\frac{5}{4}\right)}^2$ và chu vi bằng 3. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_{10}+u_{27}=(u_1+9d)+(u_1+26d)=2u_1+35d=101$. Tổng 36 số hạng đầu: $S_{36}=\frac{36(u_1+u_{36})}{2}=18(2u_1+35d)=18\cdot 101=1818$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi số tiền 5 thành viên nhận được theo thứ tự tăng dần là các số hạng của cấp số cộng: $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ với công sai $d>0$. Theo đề bài: người cao nhất nhận $a_5=100$ (triệu đồng) và tổng $S_5=300$ (triệu đồng).

Công thức tổng: $S_5=\frac{5(a_1+a_5)}{2}=300$, suy ra $a_1+a_5=120$, do đó $a_1=120-100=20$.

Kiểm tra: công sai $d=\frac{a_5-a_1}{4}=\frac{100-20}{4}=20$, dãy là $20,40,60,80,100$, tổng bằng $300$ triệu đồng (đúng).

Vậy người có lợi nhuận thấp nhất nhận được $20$ triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_1=6$, công sai $d=17-6=11$. Số hạng thứ 20: $u_{20}=u_1+19d=6+19\cdot 11=6+209=215$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
a) $u_5=3\cdot 5-4=11\ne 15$ → sai. b) $d=-5$, $u_{15}=3+14\cdot (-5)=-67$ → đúng. c) $86=2+3(n-1)\Rightarrow n=29$ → đúng. d) $u_1=S_1=1$, $d=3$; $T=S_{100}-S_{14}=(15000-50)-(294-7)=14950-287=14663>14000$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$u_5=3\cdot 5-4=11\ne 15$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$d=-2-3=-5$, $u_{15}=3+14(-5)=-67$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$86=2+3(n-1)\Rightarrow n-1=28\Rightarrow n=29$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$u_1=S_1=1$, $2d=3\Rightarrow d=3$. $T=S_{100}-S_{14}=14950-287=14663>14000$.

(AI giải đề cho tôi)
Số tiền tiết kiệm mỗi tháng lập thành cấp số cộng với $u_1=2,5$ triệu đồng, công sai $d=0,05$ triệu đồng. Tổng sau $n$ tháng: $S_n=\frac{n}{2}\left[2\cdot 2,5+(n-1)\cdot 0,05\right]=\frac{n(0,05n+4,95)}{2}$. Yêu cầu $S_n\ge 31$: $0,05n^2+4,95n-31\ge 0\iff n^2+99n-620\ge 0$. Nghiệm: $n\ge \frac{-99+\sqrt{99^2+4\cdot 620}}{2}=\frac{-99+\sqrt{12281}}{2}\approx \frac{-99+110,82}{2}\approx 5,91$. Vậy $n$ nguyên nhỏ nhất là $n=6$. Kiểm tra: $S_5=\frac{5(0,25+4,95)}{2}=13$ triệu (chưa đủ); $S_6=\frac{6(0,3+4,95)}{2}=15,75$ triệu... Thực ra cần tính lại: $S_6=\frac{6}{2}(5+5\cdot 0,05)=3\cdot 5,25=15,75$ triệu — vẫn chưa đủ 31 triệu. Xét lại: $S_n=\frac{n}{2}(5+0,05(n-1))=\frac{0,05n^2+4,95n}{2}$. Với $n=10$: $\frac{5+49,5}{2}\cdot ...$ tính $S_{10}=\frac{10}{2}(5+0,45)=27,25$ triệu; $S_{11}=\frac{11}{2}(5+0,5)=30,25$ triệu; $S_{12}=\frac{12}{2}(5+0,55)=33,3$ triệu $\ge 31$. Vậy cần ít nhất 12 tháng. (Lưu ý: phương trình $n^2+99n-620\ge 0$ cho $n\ge 5,91$ là sai vì rút gọn nhầm; phương trình đúng là $0,05n^2+4,95n\ge 62\iff n^2+99n-1240\ge 0$, $n\ge \frac{-99+\sqrt{9801+4960}}{2}=\frac{-99+\sqrt{14761}}{2}\approx \frac{-99+121,49}{2}\approx 11,25$, nên $n=12$.)

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_3=2$, $u_4=8$. Công sai $d=u_4-u_3=8-2=6$. Vậy chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_1=-0,1$, $d=0,1$. Áp dụng công thức số hạng tổng quát: $u_7=u_1+6d=-0,1+6\cdot 0,1=-0,1+0,6=0,5$. Vậy $u_7=0,5$, tương ứng với đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_n=2^{n-1}$ (cấp số nhân công bội 2, số hạng đầu 1) và $v_n=-2n-21$ là cấp số cộng công sai $-2$.

a) Sai: $u_n=2^{n-1}\to +\infty$ khi $n\to +\infty$ nên dãy không bị chặn trên.

b) Sai: $v_{n+1}-v_n=-2$ (hằng số) nên $(v_n)$ là cấp số cộng công sai $-2$, không phải cấp số nhân.

c) Đúng: $v_{50}=-2\cdot 50-21=-121$.

d) Sai: với $k=1,\dots ,20$ ta có $u_k-u_{k+5}=2^{k-1}-2^{k+4}=2^{k-1}(1-32)=-31\cdot 2^{k-1}$, nên $\frac{1}{u_k-u_{k+5}}=\frac{-1}{31\cdot 2^{k-1}}$. Do đó $T=-\frac{1}{31}\sum _{k=1}^{20}\frac{1}{2^{k-1}}=-\frac{1}{31}\cdot \frac{1-2^{-20}}{1-\frac{1}{2}}=-\frac{2}{31}\cdot \frac{2^{20}-1}{2^{20}}=\frac{1-2^{20}}{31\cdot 2^{19}}$.

Kết quả đúng là $T=\frac{1-2^{20}}{31\cdot 2^{19}}$, khác với khẳng định $\frac{1-2^{20}}{15\cdot 2^{19}}$ (tử số $31\ne 15$), nên d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$u_n=2^{n-1}$ tăng không giới hạn nên không bị chặn trên.
b) (AI giải đề cho tôi)
$v_{n+1}-v_n=-2$ hằng số nên $(v_n)$ là cấp số cộng, không phải cấp số nhân.
c) (AI giải đề cho tôi)
$v_{50}=-2\cdot 50-21=-121$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$u_k-u_{k+5}=-31\cdot 2^{k-1}$, tổng cấp số nhân cho $T=\frac{1-2^{20}}{31\cdot 2^{19}}\ne \frac{1-2^{20}}{15\cdot 2^{19}}$.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy số $-\frac{1}{2};0;\frac{1}{2};1;\frac{3}{2};...$ có số hạng đầu tiên $u_1=-\frac{1}{2}$. Công sai là $d=u_2-u_1=0-\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}$. Kiểm tra: $u_3-u_2=\frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}$, $u_4-u_3=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$, đúng là cấp số cộng với công sai $\frac{1}{2}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2a) Gọi cấp số cộng là $a_n=a_1+(n-1)d$ với $d>0$ (dãy tăng).

Từ $a_1+a_4+a_{10}=69$: $a_1+(a_1+3d)+(a_1+9d)=69\Rightarrow 3a_1+12d=69\Rightarrow a_1+4d=23$, suy ra $a_1=23-4d$.

Vì $a_1;a_2+1;a_3+14$ lập thành cấp số nhân nên $(a_2+1{)}^2=a_1(a_3+14)$, tức $(a_1+d+1{)}^2=a_1(a_1+2d+14)$. Khai triển: $a_1^2+2a_1(d+1)+(d+1{)}^2=a_1^2+2a_{1}d+14a_1\Rightarrow (d+1{)}^2=12a_1$.

Thay $a_1=23-4d$: $d^2+2d+1=276-48d\Rightarrow d^2+50d-275=0\Rightarrow d=5$ hoặc $d=-55$. Vì dãy tăng nên $d=5$, khi đó $a_1=23-20=3$.

Tổng 20 số hạng đầu: $S_{20}=\frac{20}{2}(2a_1+19d)=10(6+95)=1010$.

Câu 2b) Hàm số xác định tại $x=0$ với $f(0)=\frac{1}{6}$. Xét giới hạn bên phải và trái (cùng một biểu thức, xét $x\to 0$):
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt{1+x}}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1+x{)}^{1/3}-1}{x}-\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1+x{)}^{1/2}-1}{x}=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{6}.$$

(Với $t=1+x\to 1$: ${\lim }_{t\to 1}\frac{t^{\alpha }-1}{t-1}=\alpha$.)

Vì ${\lim }_{x\to 0}f(x)=-\frac{1}{6}\ne \frac{1}{6}=f(0)$ nên hàm số $f(x)$ không liên tục tại $x=0$.