Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3a) Ta có $0,16=0,4^2$. Vì cơ số $0<0,4<1$ nên bất phương trình $0,4^{x^2+x}>0,4^2$ tương đương $x^2+x<2$, tức $x^2+x-2<0\iff (x-1)(x+2)<0\iff -2<x<1$. Vậy tập nghiệm $S=(-2;1)$.

Câu 3b) Điều kiện: $2x-1>0\iff x>\frac{1}{2}$. Ta có ${\log }_3(2x-1{)}^2=2{\log }_3(2x-1)$. Đặt $t={\log }_3(2x-1)$, bất phương trình trở thành $t^2-6t+2<0$. Phương trình $t^2-6t+2=0$ có nghiệm $t=3\pm \sqrt{7}$, nên $3-\sqrt{7}<t<3+\sqrt{7}$, tức $3-\sqrt{7}<{\log }_3(2x-1)<3+\sqrt{7}$. Do đó $3^{3-\sqrt{7}}<2x-1<3^{3+\sqrt{7}}$, suy ra $\frac{1+3^{3-\sqrt{7}}}{2}<x<\frac{1+3^{3+\sqrt{7}}}{2}$. Kết quả này thỏa mãn điều kiện $x>\frac{1}{2}$ (vì $3^{3-\sqrt{7}}>1$). Vậy tập nghiệm $S=\left(\frac{1+3^{3-\sqrt{7}}}{2};\frac{1+3^{3+\sqrt{7}}}{2}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x+1>0\iff x>-1$. Với cơ số $2>1$, bất phương trình tương đương $x+1<2^3=8\iff x<7$. Kết hợp điều kiện: $-1<x<7$, tập nghiệm $(-1;7)$. Khớp với đáp án B trong bảng hướng dẫn chấm.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $a=x^2+y^2+2\ge 2$ và $b=4x+6y-7$ (cần $b>0$ để log có nghĩa). Bất đẳng thức trở thành $10^a+\log \frac{a}{b}\le 10^b$. Nếu $a>b$ thì $10^a>10^b$ và $\log \frac{a}{b}>0$, suy ra vế trái $>10^b$: vô lý. Vậy phải có $a\le b$; ngược lại khi $a\le b$ thì $10^a\le 10^b$ và $\log \frac{a}{b}\le 0$ nên bất đẳng thức luôn đúng. Do đó điều kiện tương đương $x^2+y^2+2\le 4x+6y-7⟺(x-2{)}^2+(y-3{)}^2\le 4$ (điều kiện $4x+6y-7>0$ tự động thỏa vì $x^2+y^2+2>0$). Tập điểm là đĩa tròn tâm $I(2;3)$ bán kính $r=2$. Ta có $P=x^2+y^2-20x+8y=(x-10{)}^2+(y+4{)}^2-116$; khoảng cách từ $(10;-4)$ đến $I(2;3)$ là $d=\sqrt{64+49}=\sqrt{113}\approx 10,63$. Suy ra $P\in \left[(d-2{)}^2-116;(d+2{)}^2-116\right]=\left[1-4\sqrt{113};1+4\sqrt{113}\right]\approx [-41,52;43,52]$. Số giá trị nguyên của $P$: từ $-41$ đến $43$, tức $43-(-41)+1=85$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $a=x^2+y^2+2\ge 2$ và $b=4x+6y-7$. Điều kiện log: $\frac{a}{b}>0$, mà $a>0$ nên $b>0$. Bất đẳng thức $10^a+\log \frac{a}{b}\le 10^b$ tương đương $10^a-a\le 10^b-b$. Xét $f(t)=10^t-t$ với $t\ge 2$: $f^{\prime }(t)=10^t\ln 10-1>0$ nên $f$ đồng biến, do đó $a\le b$, tức $x^2+y^2+2\le 4x+6y-7\iff (x-2{)}^2+(y-3{)}^2\le 16$ (đường tròn tâm $I(2;3)$ bán kính $4$; mọi điểm này thỏa $b>0$).

Ta có $P=x^2+y^2-20x+8y=(x-10{)}^2+(y+4{)}^2-116$, tâm $J(10;-4)$. Khoảng cách $IJ=\sqrt{8^2+7^2}=\sqrt{113}\approx 10,63>4$.

Giá trị lớn nhất: $P_{\max }=(\sqrt{113}+4{)}^2-116=129+8\sqrt{113}-116\approx 98,05$.
Giá trị nhỏ nhất: $P_{\min }=(\sqrt{113}-4{)}^2-116=129-8\sqrt{113}-116\approx -72,05$.

Vậy $P\in \left[129-8\sqrt{113}-116;129+8\sqrt{113}-116\right]\approx [-72,05;98,05]$, các giá trị nguyên từ $-72$ đến $98$: có $98-(-72)+1=171$ số nguyên.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $3^{x+2}\ge \frac{1}{9}=3^{-2}$. Vì cơ số $3>1$ nên $x+2\ge -2\iff x\ge -4$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì cơ số $\frac{1}{2}\in (0;1)$ nên hàm số nghịch biến. Ta có $8={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-3}$, do đó ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{x^2-4x}<{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-3}\iff x^2-4x>-3\iff x^2-4x+3>0\iff (x-1)(x-3)>0\iff x<1$ hoặc $x>3$. Vậy $S=(-\infty ;1)\cup (3;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x-3>0\iff x>3$. Vì cơ số $\frac{1}{2}<1$ nên hàm lôgarit nghịch biến, do đó ${\log }_{\frac{1}{2}}(x-3)\ge {\log }_{\frac{1}{2}}4\iff x-3\le 4\iff x\le 7$. Kết hợp điều kiện: $3<x\le 7$, tức $S=(3;7]$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x>0$ và $12-3x>0\Rightarrow 0<x<4$. Vì cơ số $2>1$, bất phương trình tương đương $x<12-3x\Rightarrow 4x<12\Rightarrow x<3$. Kết hợp điều kiện: $0<x<3$, tức tập nghiệm $S=(0;3)$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x-1>0\iff x>1$. Với cơ số $2>1$, bất phương trình tương đương $2x+5>x-1\iff x>-3$, kết hợp điều kiện được $S=(1;+\infty )$. Các số nguyên dương bé hơn 10 thuộc $S$ là $2,3,\dots ,9$, gồm 8 phần tử. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Với $t=5^x>0$ ta có $25^{x+1}=25\cdot 25^x=25t^2$. Bất phương trình $25^{x+1}-26\cdot 5^x+1>0$ trở thành $25t^2-26t+1>0$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $-x+2>0\iff x<2$. Vì cơ số $\frac{1}{4}\in (0;1)$, bất phương trình ${\log }_{\frac{1}{4}}(-x+2)\ge -2$ tương đương $-x+2\le {\left(\frac{1}{4}\right)}^{-2}=16\iff x\ge -14$. Vậy tập nghiệm là $[-14;2)$, tức $a=-14$, $b=2$, nên $T=a+2b=-14+4=-10$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 7: Giải từng bất phương trình mũ bằng cách đưa về cùng cơ số và so sánh số mũ (chú ý chiều bất đẳng thức khi cơ số trong khoảng (0,1)).

a) $4^{x+1}\le 8^{x-2}\iff 2^{2x+2}\le 2^{3x-6}\iff 2x+2\le 3x-6\iff x\ge 8$. Tập nghiệm $S=[8;+\infty )$.

b) $5^{x+2}<{\left(\frac{1}{25}\right)}^{-x}=25^x=5^{2x}\iff x+2<2x\iff x>2$. Tập nghiệm $S=(2;+\infty )$.

c) $5^{x+1}-\frac{1}{5}>0\iff 5^{x+1}>5^{-1}\iff x+1>-1\iff x>-2$. Tập nghiệm $S=(-2;+\infty )$.

d) $2^{x^2-3x}<16=2^4\iff x^2-3x<4\iff x^2-3x-4<0\iff (x-4)(x+1)<0\iff -1<x<4$. Tập nghiệm $S=(-1;4)$.

e) ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-x^2+3x}<\frac{1}{4}={\left(\frac{1}{2}\right)}^2$. Vì cơ số $0<\frac{1}{2}<1$ nên $-x^2+3x>2\iff x^2-3x+2>0\iff (x-1)(x-2)>0\iff x<1$ hoặc $x>2$. Tập nghiệm $S=(-\infty ;1)\cup (2;+\infty )$.

f) ${\left(\frac{4}{3}\right)}^{x^2-4}\ge 1={\left(\frac{4}{3}\right)}^0\iff x^2-4\ge 0\iff x\le -2$ hoặc $x\ge 2$. Tập nghiệm $S=(-\infty ;-2]\cup [2;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 8: Giải từng bất phương trình lôgarit.

a) Điều kiện $3x-1>0\iff x>\frac{1}{3}$. BPT $\iff {\log }_2(3x-1)>{\log }_{2}8\iff 3x-1>8\iff x>3$ (thỏa ĐK). Tập nghiệm: $S=(3;+\infty )$.

b) Điều kiện: $x\ne 0$, $4x-4>0\iff x>1$. BPT $\iff x^2>4x-4\iff (x-2{)}^2>0\iff x\ne 2$. Kết hợp: $S=(1;2)\cup (2;+\infty )$.

c) Điều kiện $x^2-2x>0\iff x<0$ hoặc $x>2$. BPT $\iff x^2-2x>3\iff x^2-2x-3>0\iff (x-3)(x+1)>0\iff x<-1$ hoặc $x>3$ (thỏa ĐK). $S=(-\infty ;-1)\cup (3;+\infty )$.

d) Điều kiện: $x+1>0$, $2x-5>0\iff x>\frac{5}{2}$. Vì cơ số $\frac{1}{2}<1$ nên hàm nghịch biến: $x+1\ge 2x-5\iff x\le 6$. $S=\left(\frac{5}{2};6\right]$.

e) Điều kiện $x>0$. BPT $\iff {\log }_2[x(x+1)]>1\iff x^2+x>2\iff (x-1)(x+2)>0\iff x>1$ hoặc $x<-2$ (loại do ĐK). $S=(1;+\infty )$.

f) Điều kiện $4x-3>0\iff x>\frac{3}{4}$. BPT $\iff {\log }_3(4x-3{)}^2\le {\log }_3(18x+27)\iff (4x-3{)}^2\le 18x+27\iff 16x^2-42x-18\le 0\iff 8x^2-21x-9\le 0$. Nghiệm: $x=\frac{21\pm \sqrt{441+288}}{16}=\frac{21\pm 27}{16}$, tức $x=-\frac{3}{8}$ hoặc $x=3$. Vậy $-\frac{3}{8}\le x\le 3$, kết hợp $x>\frac{3}{4}$: $S=\left(\frac{3}{4};3\right]$.

g) Điều kiện $x\ne 2$. BPT $\iff {\log }_4(x-2{)}^2\le {\log }_{4}4\iff (x-2{)}^2\le 4\iff -2\le x-2\le 2\iff 0\le x\le 4$, loại $x=2$. $S=[0;2)\cup (2;4]$.

h) Điều kiện: $1-x>0$, $2x+6>0\iff -3<x<1$. Vì cơ số $\frac{1}{2}<1$: ${\log }_{\frac{1}{2}}(1-x)-1>{\log }_{\frac{1}{2}}(2x+6)\iff {\log }_{\frac{1}{2}}(1-x)>{\log }_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{2}(2x+6)\right)\iff 1-x<x+3\iff x>-1$. $S=(-1;1)$.

i) Điều kiện: $(x+1{)}^2>0\iff x\ne -1$; $2x+5>0\iff x>-\frac{5}{2}$. BPT $\iff (x+1{)}^2\le 2x+5\iff x^2+2x+1\le 2x+5\iff x^2\le 4\iff -2\le x\le 2$. Kết hợp: $S=[-2;-1)\cup (-1;2]$.

j) Điều kiện: $x-1>0$, $x+1>0$, $4x-2x^2>0\iff 2x(2-x)>0\iff 1<x<2$. BPT $\iff \ln (x^2-1)>\ln (4x-2x^2)\iff x^2-1>4x-2x^2\iff 3x^2-4x-1>0$. Nghiệm: $x=\frac{4\pm \sqrt{16+12}}{6}=\frac{2\pm \sqrt{7}}{3}$. Vậy $x<\frac{2-\sqrt{7}}{3}$ hoặc $x>\frac{2+\sqrt{7}}{3}$; vì $\frac{2-\sqrt{7}}{3}\approx -0,215<1$ nên kết hợp ĐK: $S=\left(\frac{2+\sqrt{7}}{3};2\right)$ với $\frac{2+\sqrt{7}}{3}\approx 1,548$.

Chọn C
${\left(\frac{1}{2}\right)}^{2x+3}\le 8\iff 2x+3\ge -3\iff x\ge -3$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì cơ số $\frac{1}{2}\in (0;1)$ nên hàm số nghịch biến. Ta có $8={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-3}$, do đó ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{2x+3}\le {\left(\frac{1}{2}\right)}^{-3}\iff 2x+3\ge -3\iff x\ge -3$. Tập nghiệm là $[-3;+\infty )$, khớp với đáp án B trong bảng mã đề 1202.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $8={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-3}$. Vì cơ số $\frac{1}{2}\in (0;1)$ nên bất phương trình ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{2x+3}\le {\left(\frac{1}{2}\right)}^{-3}$ tương đương $2x+3\ge -3$, tức $2x\ge -6\iff x\ge -3$. Vậy tập nghiệm là $[-3;+\infty )$, trùng với đáp án C trong bảng đáp án (mã đề 1201, câu 12: C).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=3^x$ ($t>0$). Ta có $3^{2x+1}+2\cdot 3^x-1=3t^2+2t-1=(3t-1)(t+1)$. Vì $t+1>0$ nên nhân tử đầu dương khi $t>\frac{1}{3}$, bằng 0 khi $t=\frac{1}{3}$, âm khi $0<t<\frac{1}{3}$.

Xét bất phương trình $(3t-1)(t+1)(t-y)\le 0$ với $y$ là số nguyên dương ($y\ge 1>\frac{1}{3}$):
- Nếu $0<t<\frac{1}{3}$ (tức $x\le -2$): nhân tử đầu âm, cần $t-y\ge 0$ tức $t\ge y$, vô lý vì $y\ge 1>1/3$. Không có nghiệm.
- Nếu $t=\frac{1}{3}$ (tức $x=-1$): tích bằng 0, thỏa mãn. Đây là 1 nghiệm.
- Nếu $t>\frac{1}{3}$ (tức $x\ge 0$): nhân tử đầu dương, cần $t\le y$ tức $3^x\le y$, suy ra $0\le x\le {\log }_{3}y$, tức $x\in \{0,1,\dots ,\lfloor {\log }_{3}y\rfloor \}$: có $\lfloor {\log }_{3}y\rfloor +1$ nghiệm.

Tổng số nghiệm nguyên $x$ là $\lfloor {\log }_{3}y\rfloor +2$. Yêu cầu không quá 5 nghiệm:
$$\lfloor {\log }_{3}y\rfloor +2\le 5⟺\lfloor {\log }_{3}y\rfloor \le 3⟺y<3^4=81⟺y\le 80.$$

Vậy có 80 số nguyên dương $y$ thỏa mãn. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình ${\log }_{0,5}(x-1)>1$ có điều kiện $x-1>0$, tức $x>1$. Vì cơ số $0,5<1$ nên hàm logarit nghịch biến, do đó ${\log }_{0,5}(x-1)>1={\log }_{0,5}(0,5)$ tương đương $x-1<0,5$, tức $x<\frac{3}{2}$. Kết hợp điều kiện: $1<x<\frac{3}{2}$, tập nghiệm là $\left(1;\frac{3}{2}\right)$. Kết quả trùng với đáp án A và với bảng đáp án (mã đề 202, câu 9: A).

Điều kiện xác định $x-1>0\iff x>1$. ${\log }_{0,5}(x-1)>1\iff x-1<(0,5{)}^1\iff x-1<0,5\iff x<1+0,5\iff x<\frac{3}{2}$. Kết hợp nghiệm vừa tìm được với điều kiện xác định $(x>1)$: $$\{\begin{array}{l}x>1\\ x<\frac{3}{2}\end{array}\iff 1<x<\frac{3}{2}$$ Vậy tập nghiệm của bất phương trình là khoảng $\left(1;\frac{3}{2}\right)$.