Giải các bất phương trình sau:
a) ${\log }_2(3x-1)>3$
b) $\ln x^2>\ln (4x-4)$
c) ${\log }_3\left(x^2-2x\right)>1$
d) ${\log }_{\frac{1}{2}}(x+1)\le {\log }_{\frac{1}{2}}(2x-5)$
e) ${\log }_{2}x+{\log }_2(x+1)>1$
f) $2{\log }_3(4x-3)\le {\log }_3(18x+27)$
g) ${\log }_4(x-2{)}^2-1\le 0$
h) ${\log }_{\frac{1}{2}}(1-x)-1>{\log }_{\frac{1}{2}}(2x+6)$
i) $\log (x+1{)}^2-\log (2x+5)\le 0$
j) $\ln (x-1)+\ln (x+1)>\ln \left(4x-2x^2\right)$

(AI giải đề cho tôi)
Bài 8: Giải từng bất phương trình lôgarit.

a) Điều kiện $3x-1>0\iff x>\frac{1}{3}$. BPT $\iff {\log }_2(3x-1)>{\log }_{2}8\iff 3x-1>8\iff x>3$ (thỏa ĐK). Tập nghiệm: $S=(3;+\infty )$.

b) Điều kiện: $x\ne 0$, $4x-4>0\iff x>1$. BPT $\iff x^2>4x-4\iff (x-2{)}^2>0\iff x\ne 2$. Kết hợp: $S=(1;2)\cup (2;+\infty )$.

c) Điều kiện $x^2-2x>0\iff x<0$ hoặc $x>2$. BPT $\iff x^2-2x>3\iff x^2-2x-3>0\iff (x-3)(x+1)>0\iff x<-1$ hoặc $x>3$ (thỏa ĐK). $S=(-\infty ;-1)\cup (3;+\infty )$.

d) Điều kiện: $x+1>0$, $2x-5>0\iff x>\frac{5}{2}$. Vì cơ số $\frac{1}{2}<1$ nên hàm nghịch biến: $x+1\ge 2x-5\iff x\le 6$. $S=\left(\frac{5}{2};6\right]$.

e) Điều kiện $x>0$. BPT $\iff {\log }_2[x(x+1)]>1\iff x^2+x>2\iff (x-1)(x+2)>0\iff x>1$ hoặc $x<-2$ (loại do ĐK). $S=(1;+\infty )$.

f) Điều kiện $4x-3>0\iff x>\frac{3}{4}$. BPT $\iff {\log }_3(4x-3{)}^2\le {\log }_3(18x+27)\iff (4x-3{)}^2\le 18x+27\iff 16x^2-42x-18\le 0\iff 8x^2-21x-9\le 0$. Nghiệm: $x=\frac{21\pm \sqrt{441+288}}{16}=\frac{21\pm 27}{16}$, tức $x=-\frac{3}{8}$ hoặc $x=3$. Vậy $-\frac{3}{8}\le x\le 3$, kết hợp $x>\frac{3}{4}$: $S=\left(\frac{3}{4};3\right]$.

g) Điều kiện $x\ne 2$. BPT $\iff {\log }_4(x-2{)}^2\le {\log }_{4}4\iff (x-2{)}^2\le 4\iff -2\le x-2\le 2\iff 0\le x\le 4$, loại $x=2$. $S=[0;2)\cup (2;4]$.

h) Điều kiện: $1-x>0$, $2x+6>0\iff -3<x<1$. Vì cơ số $\frac{1}{2}<1$: ${\log }_{\frac{1}{2}}(1-x)-1>{\log }_{\frac{1}{2}}(2x+6)\iff {\log }_{\frac{1}{2}}(1-x)>{\log }_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{2}(2x+6)\right)\iff 1-x<x+3\iff x>-1$. $S=(-1;1)$.

i) Điều kiện: $(x+1{)}^2>0\iff x\ne -1$; $2x+5>0\iff x>-\frac{5}{2}$. BPT $\iff (x+1{)}^2\le 2x+5\iff x^2+2x+1\le 2x+5\iff x^2\le 4\iff -2\le x\le 2$. Kết hợp: $S=[-2;-1)\cup (-1;2]$.

j) Điều kiện: $x-1>0$, $x+1>0$, $4x-2x^2>0\iff 2x(2-x)>0\iff 1<x<2$. BPT $\iff \ln (x^2-1)>\ln (4x-2x^2)\iff x^2-1>4x-2x^2\iff 3x^2-4x-1>0$. Nghiệm: $x=\frac{4\pm \sqrt{16+12}}{6}=\frac{2\pm \sqrt{7}}{3}$. Vậy $x<\frac{2-\sqrt{7}}{3}$ hoặc $x>\frac{2+\sqrt{7}}{3}$; vì $\frac{2-\sqrt{7}}{3}\approx -0,215<1$ nên kết hợp ĐK: $S=\left(\frac{2+\sqrt{7}}{3};2\right)$ với $\frac{2+\sqrt{7}}{3}\approx 1,548$.