Đề Ôn Tập Cuối Học Kỳ 1 Toán 11 Chương Trình Chuyên 2025-2026 - Đề Số 1

Tính giới hạn:
a) ${\lim }_{x\to 0}\frac{2\left(\sqrt{3x+1}-1\right)}{x}$.
b) ${\lim }_{x\to -\infty }\left(\sqrt{x^2-4x+2}+x\right)$.

Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt{x+3}-\sqrt{3x+1}}{x-1}& \text{khi }x\ne 1\\ a& \text{khi }x=1\end{array}$. Tìm $a$ để hàm số liên tục tại $x_0=1$.

Giải các bất phương trình sau
a) $0,4^{x^2+x}>0,16$.
b) ${\log }_3^2(2x-1)-3\cdot {\log }_3(2x-1{)}^2+2<0$.

a) Tính đạo hàm của hàm số $y=\sqrt{x^2+2x}$.
b) Cho hàm số $y=2x^3-4x^2+3$. Giải bất phương trình $y^{\prime }>0$.

a) Chứng minh phương trình $x^3-3x^4+5x-2=0$ có ít nhất ba nghiệm trên $(-2;5)$.
b) Gọi $(C)$ là đồ thị hàm số $y=\frac{4x-3}{x-1}$. Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ biết tiếp tuyến này hợp với Ox góc $45^{\circ }$.

Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $a$, điểm $M$ thuộc cạnh $SC$ sao cho $SM=2MC$.
a) Tìm giao điểm $I$ của $AM$ và mặt phẳng $(SBD)$ và tính $\frac{AI}{AM}$.
b) Mặt phẳng $(P)$ chứa $AM$ và song song với $BD$. Xác định thiết diện của hình chóp $S.ABCD$ cắt bởi mặt phẳng $(P)$.
c) Tính diện tích thiết diện của hình chóp $S.ABCD$ cắt bởi mặt phẳng $(P)$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông tâm $O$ với độ dài cạnh đáy bằng $a$. Cạnh bên $SA=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ và vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$.
a) Chứng minh rằng $BD\perp (SAC)$.
b) Tính góc giữa hai đường thẳng $SO$ và $AC$.
c) Gọi $I$ là trung điểm $AD$. Chứng minh $OI\perp SD$.