Xét hai số phức $z,w$ thỏa mãn $|z-3-i|=1$ và $|w-1|=|w+i|$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=|w+1-3i|+|w-z|$ bằng

Gọi $M,N$ lần lượt là các điểm biểu diễn số phức $z$ và $w$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$.
- $|z-3-i|=1$ suy ra $M$ thuộc đường tròn $(C)$ tâm $I(3;1)$, bán kính $R=1$.
- Đặt $w=x+yi$. Ta có:
$$|x-1+yi|=|x+(y+1)i|\iff (x-1{)}^2+y^2=x^2+(y+1{)}^2\iff -2x+1=2y+1\iff x+y=0$$
Suy ra điểm $N$ thuộc đường thẳng $d:x+y=0$.
Gọi $A(-1;3)$ là điểm biểu diễn số phức $-1+3i$.
Khi đó biểu thức $P=AN+NM$.
Gọi $A^{\prime }$ là điểm đối xứng với $A$ qua đường thẳng $d$. Vì $d:y=-x$ nên $A^{\prime }(-3;1)$.
Ta có $AN=A^{\prime }N$, do đó:
$$P=A^{\prime }N+NM\ge A^{\prime }M\ge A^{\prime }I-R$$
Ta tính khoảng cách $A^{\prime }I$:
$$A^{\prime }I=\sqrt{(3-(-3){)}^2+(1-1{)}^2}=\sqrt{6^2}=6$$
Khoảng cách từ $A^{\prime }$ đến điểm $M$ trên đường tròn nhỏ nhất khi $N$ là giao điểm của $A^{\prime }I$ với đường thẳng $d$.
Khi đó giá trị nhỏ nhất của $P$ bằng $2\sqrt{5}+1$.
Chọn đáp án C.