Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA\perp (ABCD)$, đáy $ABCD$ là hình vuông, biết $AB=1$, $SA=2$ (tham khảo hình vẽ bên dưới).

Khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $(SBD)$ bằng

Gọi $O=AC\cap BD$. Vì $ABCD$ là hình vuông nên $O$ là trung điểm của $AC$ và $AC\perp BD$ tại $O$.
Do đó $d(C,(SBD))=d(A,(SBD))$.
Trong mặt phẳng $(ABCD)$, ta có $AO\perp BD$. Mà $SA\perp BD$ (do $SA\perp (ABCD)$), nên $BD\perp (SAO)$.
Kẻ $AH\perp SO$ tại $H$. Khi đó $AH\perp BD$ (vì $BD\perp (SAO)$), suy ra $AH\perp (SBD)$.
Do đó $d(A,(SBD))=AH$.
Ta có $AC=AB\sqrt{2}=\sqrt{2}\Rightarrow AO=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Trong tam giác vuông $SAO$ tại $A$:
$$\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{A{O}^2}=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\frac{1}{4}+2=\frac{9}{4}\Rightarrow AH=\frac{2}{3}$$
Khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $(SBD)$ là $\frac{\sqrt{2}}{3}$.
Chọn đáp án B.