Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$, góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $45^{\circ }$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SB$ và $AC$ bằng

Chọn C.


Ta có $SA\perp (ABCD)⟹AC$ là hình chiếu vuông góc của $SC$ lên $(ABCD)$.
Suy ra góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SCA}=45^{\circ }$.
Đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ nên $AC=a\sqrt{2}$.
Vì $△SAC$ vuông tại $A$ có $\widehat{SCA}=45^{\circ }$ nên $SA=AC=a\sqrt{2}$.
Kẻ đường thẳng $d$ qua $B$ song song với $AC$.
Gọi $M$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $d$, $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $SM$.
Ta có $SA\perp d$ (do $SA\perp (ABCD)$), $AM\perp d⟹d\perp (SAM)⟹d\perp AH$.
Vì $AH\perp SM$ và $AH\perp d$ nên $AH\perp (S,d)\equiv (SBM)$.
Do $AC\parallel d\subset (SBM)$ nên:
$d(AC,SB)=d(AC,(SBM))=d(A,(SBM))=AH.$
Ta có $AC\parallel BM$ và $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng $d$ bằng khoảng cách từ $B$ đến $AC$, tức là $AM=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Tam giác $SAM$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$:
$\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{A{M}^2}=\frac{1}{(a\sqrt{2}{)}^2}+\frac{1}{{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\frac{1}{2a^2}+\frac{2}{a^2}=\frac{5}{2a^2}.$
$⟹AH=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\frac{a\sqrt{10}}{5}.$
Vậy $d(AC,SB)=\frac{a\sqrt{10}}{5}$.