Cắt hình nón đỉnh $S$ bởi một mặt phẳng đi qua trục ta được thiết diện là tam giác $SAB$ vuông cân có cạnh huyền bằng $a\sqrt{2}$. Gọi $C$ là một điểm thuộc đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng $(SBC)$ tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón một góc $60^{\circ }$. Diện tích của tam giác $SBC$ bằng

Chọn D.
Gọi $O$ là tâm đường tròn đáy hình nón. Thiết diện qua trục là $△SAB$ vuông cân tại $S$ có cạnh huyền $AB=a\sqrt{2}$.
Suy ra bán kính đáy $r=OA=OB=\frac{AB}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ và chiều cao $SO=\frac{AB}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Gọi $M$ là trung điểm của dây cung $BC$. Khi đó $OM\perp BC$ và $SM\perp BC$.
Góc giữa mặt phẳng $(SBC)$ và mặt đáy là $\widehat{SMO}=60^{\circ }$.
Xét tam giác $SMO$ vuông tại $O$:
$SM=\frac{SO}{\sin 60^{\circ }}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}.$
$OM=SM\cdot \cos 60^{\circ }=\frac{a\sqrt{6}}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{6}.$
Trong tam giác vuông $OBM$ tại $M$:
$BM=\sqrt{O{B}^2-O{M}^2}=\sqrt{{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2-{\left(\frac{a\sqrt{6}}{6}\right)}^2}=\sqrt{\frac{a^2}{2}-\frac{a^2}{6}}=\sqrt{\frac{a^2}{3}}=\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}.$
Suy ra $BC=2BM=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$.
Diện tích tam giác $SBC$ là:
$S_{△SBC}=\frac{1}{2}SM\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot \frac{a\sqrt{6}}{3}\cdot \frac{2a\sqrt{3}}{3}=\frac{a^2\sqrt{18}}{9}=\frac{3a^2\sqrt{2}}{9}=\frac{a^2\sqrt{2}}{3}.$