Trong không gian $Oxyz$, hình chiếu của điểm $A(3;-1;4)$ lên mặt phẳng $(Oxy)$ có tọa độ là

Cho hàm số $f(x)=3\sin x-2\cos x$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

Cho ${\int }_0^{1}f(x)dx=3$ và ${\int }_0^{1}g(x)dx=-2$. Tính $I={\int }_0^1[2f(x)-3g(x)]dx$.

Cho hai số phức $z=3-2i$ và $w=2+4i$. Phần ảo của số phức $z+w$ là

Diện tích xung quanh của hình trụ có độ dài đường sinh $l=5$ và bán kính đáy $r=2$ là

Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng

Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y=(x-1{)}^{\sqrt{3}}$.

Số phức liên hợp của số phức $z=3-4i$ là

Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Trên mặt phẳng tọa độ, điểm $M(-2;5)$ biểu diễn số phức nào sau đây?

Công thức thể tích $V$ của khối nón có bán kính đáy $r$ và chiều cao $h$ là

Một khối lập phương có cạnh bằng $3a$. Thể tích của khối lập phương đó bằng

Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị của một trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

Một khối chóp có diện tích đáy bằng $3a^2$ và chiều cao bằng $2a$. Thể tích khối chóp đó bằng

Với $a$ là số thực dương tùy ý, $\log (100a^3)$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)=x(x+1)(x-2{)}^3$, với mọi $x\in \mathbb{R}$. Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[-1;3]$ và có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn $[-1;3]$. Giá trị của $M+2m$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(-1;-3;4)$ và $B(3;-1;2)$. Phương trình mặt cầu đường kính $AB$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-2{)}^2+(y+3{)}^2+(z-1{)}^2=9$. Điểm nào trong các điểm bên dưới thuộc mặt cầu $(S)$?

Hàm số nào dưới đây không có điểm cực trị?

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(1;-2;2)$ và đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=-1+t\\ y=2-3t\\ z=1+2t\end{array}$. Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M$ và vuông góc với $d$ là

Biết rằng $x,y$ là các số thực thỏa mãn $x-1+yi=4-3i$. Môđun của số phức $z=x-yi$ bằng

Cho ${\int }_0^{1}f(x)dx=2$. Khi đó ${\int }_0^1[2f(x)+e^x]dx$ bằng

Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần. Xác suất để tổng số chấm trong hai lần gieo bằng $7$ là

Trong không gian $Oxyz$, phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M(2;1;3)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(3;-2;1)$ là

Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=3x^2-2x+1$ thoả mãn $F(0)=2$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Số giao điểm của đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2+2$ và trục hoành là

Với $a$ là số dương tuỳ ý, $\sqrt{a^3\sqrt{a}}$ bằng

Gọi $x_1$ và $x_2$ là hai nghiệm của phương trình $2^{x^2-3x+2}=1$. Tính $P=x_1^2+x_2^2$.

Tìm tập nghiệm $S$ của bất phương trình ${\log }_{\frac{1}{3}}(1-2x)>0$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA\perp (ABCD)$, đáy $ABCD$ là hình vuông, biết $AB=1$, $SA=2$ (tham khảo hình vẽ bên dưới).

Khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $(SBD)$ bằng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $4^x+4^{-x}=2^{x+1}-2^{1-x}+4-m$ có nghiệm trên đoạn $[0;1]$?

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\perp (ABC)$, đáy là tam giác vuông tại $B$, biết $AB=a\sqrt{5}$, $BC=a$, $SA=a\sqrt{6}$. Gọi $B_1,C_1$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên các cạnh $SB,SC$. Thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối chóp $A.BC{C}_1{B}_1$ bằng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x-y+z+2=0$ và hai đường thẳng $d_1:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-2}{1}$, $d_2:\frac{x-1}{-1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z}{3}$. Đường thẳng $(\Delta )$ song song với mặt phẳng $(P)$, cách $(P)$ một khoảng bằng $2\sqrt{3}$ đồng thời cắt $d_1,d_2$ lần lượt tại $A,B$. Biết điểm $A$ có hoành độ dương. Khi đó độ dài đoạn thẳng $AB$ bằng

Cho hàm số $f(x)=x^3-3x+e^m$, với $m$ là tham số thực. Biết rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn $[0;2]$ bằng $0$; khi đó, giá trị lớn nhất của hàm số đã cho bằng

Hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn ${\int }_0^{1}x{f}^{\prime }(x)dx=20$ và $f(1)=2$. Tính $I={\int }_0^{1}f(x)dx$.

Biết rằng có hai số phức $z$ thỏa mãn $z\cdot \bar{z}=5$ và $|z-3|=|z+3i|$, ta ký hiệu hai số phức này là $z_1$ và $z_2$. Tính $P=|z_1-z_2|$.

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, thỏa mãn ${\int }_0^{4}f(x)dx=8$ và ${\int }_0^{2}f(x)dx=12$. Tính $I={\int }_0^{3}f(2x-4)dx$.

Nga làm thạch rau câu có dạng khối trụ với đường kính là $20\text{ cm}$ và chiều cao bằng $7\text{ cm}$. Nga cắt dọc theo đường sinh một miếng từ khối thạch này (như hình vẽ) biết $O,O^{\prime }$ là tâm của hai đường tròn đáy, đoạn thẳng $AB=6\text{ cm}$. Hỏi thể tích của miếng thạch cắt ra gần bằng với giá trị nào sau đây?

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác vuông tại $A$. Biết $AB=a\sqrt{15}$, $AC=a$, $A{A}^{\prime }=2a$ (tham khảo hình bên dưới).

Góc giữa đường thẳng $B{C}^{\prime }$ và mặt phẳng $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ bằng

Xét hai số phức $z,w$ thỏa mãn $|z-3-i|=1$ và $|w-1|=|w+i|$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=|w+1-3i|+|w-z|$ bằng

Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Xét hàm số $g(x)=f(x^4-4x^2+2)+m$, với $m$ là tham số thực. Số điểm cực đại tối đa của hàm số $g(x)$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(2;-5;-3)$, mặt phẳng $(\alpha ):x-y-z+2=0$ và mặt cầu $(S):(x-2{)}^2+(y+1{)}^2+(z-1{)}^2=8$. Biết rằng mặt phẳng $(\alpha )$ cắt mặt cầu $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn $(C)$. Tìm hoành độ của điểm $M$ thuộc đường tròn $(C)$ sao cho độ dài đoạn $AM$ lớn nhất?

Cho $x,y$ là hai số thực dương thỏa mãn ${\log }_2\frac{x^2+4y^2}{x^2+8xy+y^2}+1+x^2-8xy+7y^2\le 0$. Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $P=\frac{x^2+2xy+10y^2}{xy+y^2}$. Tính $T=8M+m$.

Một bể bơi hình elip, có độ dài trục lớn bằng $10\text{ m}$ và trục nhỏ bằng $8\text{ m}$. Khu vực A là chứa nước, khu vực B là bậc thang lên xuống bể bơi, là nửa đường tròn có tâm là một tiêu điểm của elip, bán kính bằng $1\text{ m}$. Phần còn lại là khu vực C (phần tô đậm) người ta lát gạch như hình vẽ.

Nếu chi phí lát gạch cho mỗi mét vuông là $400$ nghìn đồng thì chi phí lát gạch ở khu C là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng nghìn)