Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(2;-5;-3)$, mặt phẳng $(\alpha ):x-y-z+2=0$ và mặt cầu $(S):(x-2{)}^2+(y+1{)}^2+(z-1{)}^2=8$. Biết rằng mặt phẳng $(\alpha )$ cắt mặt cầu $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn $(C)$. Tìm hoành độ của điểm $M$ thuộc đường tròn $(C)$ sao cho độ dài đoạn $AM$ lớn nhất?

Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là mét), một thiết bị phát sóng Wifi được đặt ở vị trí $I(-1;0;3)$ với bán kính phủ sóng là $R=34$m.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, hai trạm phát sóng di động được đặt lần lượt tại hai vị trí $X$ và $Y$ (đơn vị: km). Vùng phủ sóng của trạm $X$ là một hình cầu có tâm $I(1;-1;3)$, bán kính $R=2$; còn vùng phủ sóng của trạm $Y$ là một hình cầu có phương trình $x^2+y^2+z^2-2x-6z+7=0$. Hai vùng phủ sóng này giao nhau tạo thành một đường tròn nằm trên mặt phẳng $(P)$. Hai thiết bị giám sát $M$ và $N$ hoạt động trong khu vực giao nhau này và luôn duy trì khoảng cách giữa chúng là 1 km. Có hai thiết bị thu phát sóng di động được đặt lần lượt tại hai vị trí $A(0;-2;0)$ và $B(3;4;5)$. Tính tổng khoảng cách nhỏ nhất từ trạm phát sóng $A$ đến thiết bị $M$ và từ trạm phát sóng $B$ đến thiết bị $N$ (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình $x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z-11=0$ và điểm $M(2;1;-1)$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua $M$ và cắt $(S)$ theo một đường tròn có chu vi nhỏ nhất có phương trình là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;-2;3)$ và đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-1-t\\ z=1+2t\end{array}$. Biết rằng mặt cầu $(S)$ tiếp xúc với đường thẳng $d$. Viết phương trình mặt cầu $(S)$.

Một khối trụ có bán kính đáy bằng 2 và khối cầu ngoại tiếp khối trụ đó có thể tích bằng $\frac{125\pi }{6}$. Tính thể tích khối trụ.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình $x^2+y^2+z^2-2x+4y-4=0$. Tìm tọa độ tâm $I$ và tính bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$.