Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình $x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z-11=0$ và điểm $M(2;1;-1)$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua $M$ và cắt $(S)$ theo một đường tròn có chu vi nhỏ nhất có phương trình là

Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu có tâm $I(2;0;-1)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P):2x-2y+z+6=0$ có phương trình là:

Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(0;0;3)$ và $B(2;-3;-5)$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến của hai mặt cầu $(S_1):(x-1{)}^2+(y-1{)}^2+(z+3{)}^2=25$ với $(S_2):x^2+y^2+z^2-2x-2y-14=0$. $M,N$ là hai điểm thuộc $(P)$ sao cho $MN=1$. Giá trị nhỏ nhất của $AM+BN$ là:

Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P):3x-4z+8=0$ và mặt phẳng $(Q):3x-4z-12=0$. Gọi $(S)$ là mặt cầu đi qua gốc tọa độ $O$ và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$. Biết rằng khi $(S)$ thay đổi thì tâm của nó luôn nằm trên một đường tròn $(C)$ có tâm $H(a;b;c)$, bán kính $r$. Tính $T=25\left(a+c+\frac{r}{6}\right)$:

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x+2z-2=0$ và các điểm $A(0;1;1),B(-1;-2;-3),C(1;0;-3)$. Điểm $D$ thuộc mặt cầu $(S)$. Thể tích tứ diện $ABCD$ lớn nhất bằng:

Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$, có bao nhiêu điểm $M$ trên trục hoành có hoành độ nguyên sao cho từ $M$ kẻ được hai tiếp tuyến đến mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z+3{)}^2=1$ và song song với $(Q):2x+y+2z=0$?

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;5;2)$ và $B(5;13;10)$. Có bao nhiêu điểm $I(a;b;c)$ với $a,b,c$ là các số nguyên sao cho có mặt cầu tâm $I$ đi qua $A,B$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(Oxy)$?