Một khối trụ có bán kính đáy bằng 2 và khối cầu ngoại tiếp khối trụ đó có thể tích bằng $\frac{125\pi }{6}$. Tính thể tích khối trụ.

Trong không gian cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$ với $AB=BC=1,AD=2$, cạnh bên $SA=1$ và $SA$ vuông góc với đáy. Gọi $E$ là trung điểm $AD$. Khi đó diện tích $S_{mc}$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.CDE$ là

Tính bán kính $R$ của mặt cầu ngoại tiếp một hình lập phương có cạnh bằng $a$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(2;1;3),B(6;5;5)$. Gọi $(S)$ là mặt cầu đường kính $AB$. Mặt phẳng $(P)$ vuông góc với $AB$ tại $H$ sao cho khối nón đỉnh $A$ và đáy là hình tròn tâm $H$ (giao của mặt cầu $(S)$ và mặt phẳng $(P)$) có thể tích lớn nhất, biết rằng $(P):2x+by+cz+d=0$ với $b,c,d\in \mathbb{Z}$. Tính $S=b+c+d$.

Cho hình trụ nội tiếp mặt cầu tâm $O$, biết thiết diện qua trục là hình vuông và diện tích mặt cầu bằng $72\pi$. Tính diện tích xung quanh của hình trụ.

Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có tất cả các cạnh đều bằng $2a$. Tính thể tích khối cầu giới hạn bởi mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.

Cho mặt cầu S ( O;9 ) . Một hình nón có đỉnh và đường tròn đáy nằm trên mặt cầu S. khi thể tích
của hình nón lớn nhất, diện tích đường tròn đáy của hình nón thuộc khoảng nào dưới đấy?