Cho $x,y$ là hai số thực dương thỏa mãn ${\log }_2\frac{x^2+4y^2}{x^2+8xy+y^2}+1+x^2-8xy+7y^2\le 0$. Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $P=\frac{x^2+2xy+10y^2}{xy+y^2}$. Tính $T=8M+m$.

Bất phương trình đã cho tương đương với:
$${\log }_2\frac{2(x^2+4y^2)}{x^2+8xy+y^2}+x^2-8xy+7y^2\le 0$$
$$\iff {\log }_2(2x^2+8y^2)-{\log }_2(x^2+8xy+y^2)+(2x^2+8y^2)-(x^2+8xy+y^2)\le 0$$
$$\iff {\log }_2(2x^2+8y^2)+2x^2+8y^2\le {\log }_2(x^2+8xy+y^2)+x^2+8xy+y^2$$
Xét hàm số $f(t)={\log }_{2}t+t$ trên khoảng $(0;+\infty )$, có $f^{\prime }(t)=\frac{1}{t\ln 2}+1>0$ nên $f(t)$ đồng biến trên $(0;+\infty )$.
Do đó bất phương trình tương đương với:
$$2x^2+8y^2\le x^2+8xy+y^2\iff x^2-8xy+7y^2\le 0$$
Chia cả hai vế cho $y^2>0$ ta được:
$${\left(\frac{x}{y}\right)}^2-8\left(\frac{x}{y}\right)+7\le 0\iff 1\le \frac{x}{y}\le 7$$
Đặt $t=\frac{x}{y}\in [1;7]$. Biểu thức $P$ trở thành:
$$P=\frac{t^2+2t+10}{t+1}=t+1+\frac{9}{t+1}$$
Đạo hàm $P^{\prime }(t)=1-\frac{9}{(t+1{)}^2}=\frac{(t+1{)}^2-9}{(t+1{)}^2}=\frac{(t-2)(t+4)}{(t+1{)}^2}$.
Trên $[1;7]$, $P^{\prime }(t)=0\iff t=2$.
Ta có các giá trị:
$P(1)=\frac{13}{2}=6,5$;
$P(2)=2+1+\frac{9}{3}=6$;
$P(7)=7+1+\frac{9}{8}=\frac{73}{8}=9,125$.
Suy ra $M={\max }_{[1;7]}P=\frac{73}{8}$ và $m={\min }_{[1;7]}P=6$.
Vậy $T=8M+m=8\cdot \frac{73}{8}+6=73+6=79$.
Chọn đáp án D.