Gọi $z$ là các số phức thỏa mãn đồng thời $|z+1+2i|=3$ và biểu thức $P=|z-1-i|+|z-3-3i|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính môđun của $z$.

Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm trong không gian. Để theo dõi hành trình của hai khinh khí cầu, người ta chọn hệ trục toạ độ $Oxyz$ với gốc $O$ đặt tại điểm xuất phát của hai khinh khí cầu, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất với trục $Ox$ hướng về phía Nam, trục $Oy$ hướng về phía Đông và trục $Oz$ hướng thẳng lên trời (đơn vị đo lấy theo kilômét). Vào lúc 9 giờ sáng, chiếc thứ nhất nằm cách điểm xuất phát $3\text{ km}$ về phía Đông và $2\text{ km}$ về phía Nam, đồng thời cách mặt đất $0,5\text{ km}$; chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát $1\text{ km}$ về phía Bắc và $1\text{ km}$ về phía Tây, đồng thời cách mặt đất $0,3\text{ km}$. Cùng thời điểm đó, một người đứng trên mặt đất và nhìn thấy hai khinh khí cầu nói trên. Biết rằng, so với các vị trí quan sát khác trên mặt đất, vị trí người đó đứng có tổng khoảng cách đến hai khinh khí cầu là nhỏ nhất. Vị trí người quan sát đứng lúc đó là $M(a;b;c)$. Tính tổng $32a+60b+5c$.

Câu 6. Trong trận đấu giữa Thụy Điển và Anh tại giải vô địch bóng đá thế giới, khi thời gian trận đấu sắp kết thúc, Zlatan Ibrahimović đã thực hiện một cú xe đạp chổng ngược móc bóng từ khoảng cách xa vào lưới đội tuyển Anh. Đây được coi là một trong những bàn thắng đẹp nhất lịch sử bóng đá thế giới với khoảng cách xa nhất từng được ghi bằng kỹ thuật này. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tính theo mét) sao cho $(Oxy)$ trùng với mặt đất, tại thời điểm Ibra tung người móc bóng quả bóng thuộc tia $Oz$ và có độ cao $2\text{ m}$, bay theo quỹ đạo của một Parabol thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt đất rơi xuống đất tại vị trí điểm $A$ nằm trong khung thành. Biết $d(A,Oy)=AH=8$ ($H\in Oy$) và $OH=15$. Sau khi bay lên không trung quả bóng đạt độ cao lớn nhất tại điểm có hoành độ $x=3$. Tại thời điểm bóng bắt đầu bay vào khung thành (tức là bóng nằm trên vạch kẻ ngang của khung thành) thì độ cao của quả bóng so với mặt đất là bao nhiêu mét? Biết rằng khung thành $CDEF$ nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đất và đi qua 2 điểm $M(4;15;-2)$, $N(8;14;6)$. (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Hệ thống định vị toàn cầu GPS (Global Positioning System) là một hệ thống cho phép xác định vị trí của một vật thể trong không gian. Trong cùng một thời điểm, vị trí của một điểm $M$ trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước nhờ các bộ thu phát tín hiệu đặt trên các vệ tinh. Giả sử trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, có bốn vệ tinh đặt tại các điểm có tọa độ lần lượt là $A(-1;2;-1),B(1;4;0),C(3;0;9),D(7;10;-1)$ đang tiến hành theo dõi vật thể $M$ (coi là một chất điểm). Tại một thời điểm, cả 4 vệ tinh đồng thời phát tín hiệu về điểm $M$ và ngay lập tức nhận lại tín hiệu phản hồi sau những khoảng thời gian lần lượt là $t_A=0,4\mathrm{ms},t_B=0,2\mathrm{ms},t_C=\frac{2}{3}\mathrm{ms},t_D=0,4\mathrm{ms}$. Biết rằng vận tốc của sóng điện từ bằng vận tốc ánh sáng $c=3\cdot 10^{8}m/s$. Tính khoảng cách từ $M$ đến $O$ biết một đơn vị độ dài trên các trục bằng $10\mathrm{km}$ trên thực tế (đơn vị: km, kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Hệ thống định vị toàn cầu GPS (Global Positioning System) là một hệ thống cho phép xác định vị trí của một vật thể trong không gian. Trong cùng một thời điểm, vị trí của một điểm $M$ trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước nhờ các bộ thu phát tín hiệu đặt trên các vệ tinh. Giả sử trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, có bốn vệ tinh đặt tại các điểm có tọa độ lần lượt là $A(0;4;5),B(-3;-1;3),C(-2;8;9),D(-7;2;-3)$ đang tiến hành theo dõi vật thể $M$ (coi là một chất điểm). Tại một thời điểm, cả bốn vệ tinh đồng thời phát tín hiệu về điểm $M$ và ngay lập tức nhận lại tín hiệu phản hồi sau những khoảng thời gian lần lượt là $t_A=0,2\mathrm{ms},t_B=\frac{1}{3}\mathrm{ms},t_C=0,6\mathrm{ms},t_D=\frac{2}{3}\mathrm{ms}$. Biết rằng vận tốc của sóng điện từ bằng vận tốc ánh sáng $c=3\cdot 10^{8}m/s$. Tính khoảng cách từ $M$ đến $O$ biết một đơn vị độ dài trên các trục bằng $10\mathrm{km}$ trên thực tế (đơn vị: km, kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Một tháp trung tâm kiểm soát không lưu ở sân bay cao $123\mathrm{m}$ sử dụng ra-đa có phạm vi theo dõi $500\mathrm{km}$ được đặt trên đỉnh tháp. Một máy bay tại vị trí $A$ cách mặt đất $9,8\mathrm{km}$, cách $250\mathrm{km}$ về phía tây và $300\mathrm{km}$ về phía nam so với tháp trung tâm kiểm soát không lưu. Tính khoảng cách từ máy bay đến ra-đa (đơn vị: km, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Cho các số phức $z_1,z_2$ thỏa mãn $|z_1-3+2i|=|z_2-3+2i|=2$ và $|z_1-z_2|=2\sqrt{3}$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=|z_1+z_2-3-5i|$ bằng