Hệ thống định vị toàn cầu GPS (Global Positioning System) là một hệ thống cho phép xác định vị trí của một vật thể trong không gian. Trong cùng một thời điểm, vị trí của một điểm $M$ trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước nhờ các bộ thu phát tín hiệu đặt trên các vệ tinh. Giả sử trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, có bốn vệ tinh đặt tại các điểm có tọa độ lần lượt là $A(-1;2;-1),B(1;4;0),C(3;0;9),D(7;10;-1)$ đang tiến hành theo dõi vật thể $M$ (coi là một chất điểm). Tại một thời điểm, cả 4 vệ tinh đồng thời phát tín hiệu về điểm $M$ và ngay lập tức nhận lại tín hiệu phản hồi sau những khoảng thời gian lần lượt là $t_A=0,4\mathrm{ms},t_B=0,2\mathrm{ms},t_C=\frac{2}{3}\mathrm{ms},t_D=0,4\mathrm{ms}$. Biết rằng vận tốc của sóng điện từ bằng vận tốc ánh sáng $c=3\cdot 10^{8}m/s$. Tính khoảng cách từ $M$ đến $O$ biết một đơn vị độ dài trên các trục bằng $10\mathrm{km}$ trên thực tế (đơn vị: km, kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Hệ thống định vị toàn cầu GPS (Global Positioning System) là một hệ thống cho phép xác định vị trí của một vật thể trong không gian. Trong cùng một thời điểm, vị trí của một điểm $M$ trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước nhờ các bộ thu phát tín hiệu đặt trên các vệ tinh. Giả sử trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, có bốn vệ tinh đặt tại các điểm có tọa độ lần lượt là $A(0;4;5),B(-3;-1;3),C(-2;8;9),D(-7;2;-3)$ đang tiến hành theo dõi vật thể $M$ (coi là một chất điểm). Tại một thời điểm, cả bốn vệ tinh đồng thời phát tín hiệu về điểm $M$ và ngay lập tức nhận lại tín hiệu phản hồi sau những khoảng thời gian lần lượt là $t_A=0,2\mathrm{ms},t_B=\frac{1}{3}\mathrm{ms},t_C=0,6\mathrm{ms},t_D=\frac{2}{3}\mathrm{ms}$. Biết rằng vận tốc của sóng điện từ bằng vận tốc ánh sáng $c=3\cdot 10^{8}m/s$. Tính khoảng cách từ $M$ đến $O$ biết một đơn vị độ dài trên các trục bằng $10\mathrm{km}$ trên thực tế (đơn vị: km, kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Một tháp trung tâm kiểm soát không lưu ở sân bay cao $123\mathrm{m}$ sử dụng ra-đa có phạm vi theo dõi $500\mathrm{km}$ được đặt trên đỉnh tháp. Một máy bay tại vị trí $A$ cách mặt đất $9,8\mathrm{km}$, cách $250\mathrm{km}$ về phía tây và $300\mathrm{km}$ về phía nam so với tháp trung tâm kiểm soát không lưu. Tính khoảng cách từ máy bay đến ra-đa (đơn vị: km, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Cho các số phức $z_1,z_2$ thỏa mãn $|z_1-3+2i|=|z_2-3+2i|=2$ và $|z_1-z_2|=2\sqrt{3}$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=|z_1+z_2-3-5i|$ bằng

Biết rằng trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn $|z-1|\le 1$ và $\left|z+\frac{1}{2}i\right|\le \left|z+\frac{1}{2}\right|$ là một hình phẳng $(H)$. Diện tích của $(H)$ bằng

Cho các số phức $z,w$ thỏa mãn $\frac{2(z+2-i)}{(z+\bar{z})i+2}$ là số thực và $|w+2i|=|w+2|$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=|w+2+i|+|w-z|$ là

Do gặp mưa bão và sự cố nên một con tàu bị hỏng động cơ và thiết bị liên lạc. Tại thời điểm cuối cùng trước khi mất liên lạc con tàu, radar của trung tâm phòng chống lụt bão xác định được tàu ở vị trí $T(60;75;0)$ trong hệ $Oxyz$ mà mỗi đơn vị trên trục tương ứng có độ dài $1\text{ km}$. Đội cứu hộ đã ngay lập tức dùng trực thăng cứu hộ, sau 2 phút trực thăng ở vị trí $A(0;0;2)$. Trong điều kiện bình thường (không gió) động cơ máy bay đẩy được máy bay bay với tốc độ tối đa $400\text{ km/h}$. Lúc này, sức gió mạnh sẽ đẩy máy bay với vận tốc $50\text{ km/h}$ và hướng theo ${\vec{v}}_1=(4;3;0)$. Động cơ trực thăng đẩy máy bay bay với vận tốc $n\text{ km/h}$, hướng theo ${\vec{v}}_2=(a;b;0)$. Một chuyên gia cứu hộ ở trung tâm phân tích được gió và sóng biển đẩy con tàu đi với vận tốc $20\text{ km/h}$ và cũng hướng theo ${\vec{v}}_1=(4;3;0)$ nên đã sử dụng phương án tối ưu, cho máy bay bay từ $A$ hướng đến vị trí có thể gặp được con tàu sớm nhất. Tính từ thời điểm mất liên lạc con tàu, hãy tính thời gian sớm nhất máy bay tới được vị trí con tàu biết thời gian hạ cánh từ độ cao $2\text{ km}$ xuống mặt biển của máy bay là 1 phút (giả định để đảm bảo an toàn, máy bay cất và hạ cánh theo phương thẳng đứng đồng thời có cơ chế để cân bằng sức gió khi đó). (tính theo đơn vị phút và làm tròn đến hàng phần chục)