Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ với đường cao kẻ từ $A$ và phân giác trong của góc $B$ lần lượt là $d_1:x-2y-2=0,d_2:x-y-1=0$. Biết $M(0;2)$ thuộc đường thẳng $AB$ và $AB=2BC$. Giả sử tam giác ABC có tọa độ đỉnh $C(a;b)$, khi đó $2a+b$ bằng bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
Vì $d_1:x-2y-2=0$ là đường cao kẻ từ $A$ nên $BC\perp d_1$, do đó đường thẳng $BC$ có vecto chỉ phương là vecto pháp tuyến của $d_1$: $\vec{v}=(1;-2)$.

Vì $d_2:x-y-1=0$ là phân giác trong của góc $B$ nên tia $BC$ là tia đối xứng của tia $BA$ qua $d_2$. Gọi $B=(t;t-1)$ (thuộc $d_2$). Đường thẳng $AB$ đi qua $M(0;2)$ và $B$ nên có vecto chỉ phương $\vec{u}=(t;t-3)$; tia $BA$ có phương $(-t;3-t)$. Đường $d_2$ có vecto chỉ phương $(1;1)$, phản xạ của vecto $(x;y)$ qua phương $(1;1)$ là $(y;x)$, nên tia đối xứng của tia $BA$ qua $d_2$ có phương $(3-t;-t)$. Để tia này trùng phương $(1;-2)$ của $BC$: $(3-t;-t)=\lambda (1;-2)\Rightarrow -t=-2\lambda ,3-t=\lambda \Rightarrow t=2$. Vậy $B=(2;1)$.

Điểm $A$ nằm trên đường thẳng $MB$: $A=M+s\vec{u}=(st;2+s(t-3))$. Vì $A\in d_1$: $st-2[2+s(t-3)]-2=0\iff s(6-t)=6\Rightarrow s=\frac{6}{6-t}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$. Suy ra $A=\left(3;\frac{1}{2}\right)$ (kiểm tra: $3-1-2=0$ đúng) và $\overrightarrow{AB}=(2;-1)$, vuông góc với $\overrightarrow{BC}=(1;-2)$ (thỏa điều kiện đường cao).

Ta có $MB=\sqrt{2^2+(-1{)}^2}=\sqrt{5}$, nên $AB=|s|\cdot MB=\frac{3\sqrt{5}}{2}$. Vì $AB=2BC$ nên $BC=\frac{3\sqrt{5}}{4}$. Đường thẳng $BC$ đi qua $B(2;1)$ với vecto chỉ phương $(1;-2)$: $C=B+k(1;-2)=(2+k;1-2k)$, $BC=|k|\sqrt{5}=\frac{3\sqrt{5}}{4}\Rightarrow |k|=\frac{3}{4}$.

Kiểm tra tính phân giác trong: với $\overrightarrow{BA}\propto (2;-1)$ và $\overrightarrow{BC}=(1;-2)$, tổng hai vecto đơn vị $\frac{(2;-1)}{\sqrt{5}}+\frac{(1;-2)}{\sqrt{5}}=\frac{(3;-3)}{\sqrt{5}}\propto (1;-1)$, đúng là phương của $d_2$ (phân giác trong), nên cấu hình thỏa mãn.

Với $k=\frac{3}{4}$: $C=\left(\frac{11}{4};-\frac{1}{2}\right)\Rightarrow 2a+b=\frac{11}{2}-\frac{1}{2}=5$; với $k=-\frac{3}{4}$: $C=\left(\frac{5}{4};\frac{5}{2}\right)\Rightarrow 2a+b=\frac{5}{2}+\frac{5}{2}=5$. Cả hai trường hợp đều cho $2a+b=5$.

Vậy $2a+b=5$, khớp đáp án nguồn (bảng đáp án mã đề 1101, Câu 4: 5).