Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x+2y+2z+4=0$ và điểm $A(1;-2;3)$. Tính khoảng cách $d$ từ $A$ đến $(P)$.

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(1;3;2)$ và đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-1}$. Một đường thẳng thay đổi qua điểm $A$ và cắt mặt phẳng $(P):2x+y-2z+2=0$ tại điểm $B$. Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng $AB$ là

Trong không gian $Oxyz$, khoảng cách từ điểm $M(1;2;-3)$ đến mặt phẳng $(P):x+2y-2z-2=0$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):16x-12y-15z-4=0$ và điểm $A(2;-1;-1)$. Gọi $H$ là hình chiếu của điểm $A$ trên mặt phẳng $(P)$. Tính độ dài đoạn thẳng $AH$.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):2x-y+2z-3=0$. Khoảng cách từ điểm $M(1;-2;1)$ đến mặt phẳng $(P)$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(-1;-1;1)$ và các mặt phẳng $(\alpha ):2x-2y-z-5=0$, $(\beta ):4x-4y-2z-5=0$.

Trong không gian $Oxyz$, bề mặt vườn hoa được mô phỏng bởi mặt phẳng $(P):x+y+4z-30=0$. Tại hai vị trí $H,K$ trong vườn, người ta dựng hai cột đèn $AH,BK$ vuông góc với mặt vườn. Cho biết:
+ Tọa độ đỉnh cột đèn $AH$ là $(1;3;10)$.
+ Chiều cao cột đèn $BK$ là $\frac{22\sqrt{2}}{3}$.
+ Khoảng cách giữa hai chân cột đèn là $17$.
Một đèn chiếu được gắn tại điểm $M$ nằm trên đường thẳng đi qua hai chân cột $H$ và $K$. Yêu cầu kỹ thuật đặt ra là hai tia sáng $MA$ và $MB$ tạo với mặt vườn các góc bằng nhau, $MA>6$. Khi đó $MH=\frac{a}{b}$ (với $a,b\in \mathbb{N}$ và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản), giá trị của $a+100b$ bằng bao nhiêu?