Cho hàm số $y=\frac{x^4}{2}-2m^2{x}^2+2$. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực $m$ sao cho đồ thị của hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu, đồng thời đường thẳng cùng phương với trục hoành qua điểm cực đại tạo với đồ thị một hình phẳng có diện tích bằng $\frac{64}{15}$ là

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y=-4x^2+10$ và $y=-5x^2+3x+10$ là

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^2-2x$ và đồ thị hàm số $y=x$.

Trong hệ tọa độ $Oxy$, parabol $y=\frac{x^2}{2}$ chia đường tròn tâm $O$ (với $O$ là gốc tọa độ) bán kính $r=2\sqrt{2}$ thành 2 phần. Diện tích phần nhỏ bằng

Trong hệ trục tọa độ $Oxy$, cho parabol $(P):y=x^2$ và hai đường thẳng $y=a,y=b$ ($0<a<b$) (hình vẽ). Gọi $S_1$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $(P)$ và đường thẳng $y=a$ (phần tô đen); $S_2$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $(P)$ và đường thẳng $y=b$ (phần gạch chéo). Với điều kiện nào sau đây của $a$ và $b$ thì $S_1=S_2$?

Diện tích của phần hình phẳng gạch chéo trong hình bên bằng

Trên mặt phẳng tọa độ, cho parabol $(P):y=x^2$ và $d$ là đường thẳng đi qua điểm $M(1;2)$. Biết rằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi $d$ và $(P)$ bằng $\frac{4}{3}$. Gọi $A,B$ là giao điểm của $d$ và $(P)$. Độ dài đoạn thẳng $AB$ thuộc khoảng nào sau đây?