Số nguyên dương $m$ lớn nhất để phương trình $25^{1+\sqrt{1-x^2}}-(m+2)5^{1+\sqrt{1-x^2}}+2m+1=0$ có nghiệm là

Đặt $t=5^{1+\sqrt{1-x^2}}$. Vì $0\le \sqrt{1-x^2}\le 1$ nên $1\le 1+\sqrt{1-x^2}\le 2\Rightarrow 5\le t\le 25$.
Phương trình trở thành $t^2-(m+2)t+2m+1=0\iff t^2-2t+1-m(t-2)=0\iff (t-1{)}^2=m(t-2)$.
Vì $t\in [5;25]\Rightarrow t-2>0$, ta có $m=\frac{(t-1{)}^2}{t-2}$.
Xét hàm số $g(t)=\frac{(t-1{)}^2}{t-2}=t+\frac{1}{t-2}\Rightarrow g^{\prime }(t)=1-\frac{1}{(t-2{)}^2}>0,\forall t\ge 5$.
Do đó hàm số đồng biến trên $[5;25]$.
Giá trị lớn nhất của $m$ là $g(25)=\frac{(25-1{)}^2}{25-2}=\frac{24^2}{23}=\frac{576}{23}\approx 25,04$.
Số nguyên dương lớn nhất của $m$ là 25.