Biết ${\int }_0^2{e}^x(2x+e^x)dx=a{e}^4+b{e}^2+c$ với $a,b,c$ là các số hữu tỷ. Tính $S=a+b+c$.

Nếu ${\int }_0^{3}f(x)dx=8$ thì ${\int }_0^3[3f(x)-x^2]dx$ bằng

Nếu ${\int }_0^{1}f(x)dx=3$ và ${\int }_0^{1}g(x)dx=4$ thì ${\int }_0^1[2f(x)+g(x)]dx$ bằng

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y=-4x^2+10$ và $y=-5x^2+3x+10$ là

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f(4)=2023$, ${\int }_0^{4}f(x)dx=2024$. Biểu thức ${\int }_0^{2}x\cdot f^{\prime }(2x)dx$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ xác định và có đạo hàm trên khoảng $(0;+\infty )$, biết rằng $f(1)=0$ và với mọi $x$ dương thì $f(x)=x+(x^2+x)f^{\prime }(x)$. Các số hữu tỉ $a,b,c$ thỏa mãn ${\int }_1^2\frac{f(x)}{x(x+1)}dx=a\ln 3+b\ln 2+c$. Giá trị của biểu thức $a+b+c$ bằng

Cho ${\int }_2^{5}f(x)dx=10$. Kết quả ${\int }_2^5[2-4f(x)]dx$ bằng