Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho $A(1;0;2),B(3;1;4),C(3;-2;1)$. Tìm tọa độ điểm $S$, biết $SA$ vuông góc với $(ABC)$, mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $S.ABC$ có bán kính bằng $\frac{3\sqrt{11}}{2}$ và $S$ có cao độ âm.

Ta có $\overrightarrow{AB}=(2;1;2),\overrightarrow{AC}=(2;-2;-1)$.
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=2(2)+1(-2)+2(-1)=4-2-2=0\Rightarrow AB\perp AC$ tại $A$.
Do đó tam giác $ABC$ vuông tại $A$ với cạnh huyền $BC$.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là $R_{\text{đaˊy}}=\frac{BC}{2}$.
Ta có $\overrightarrow{BC}=(0;-3;-3)\Rightarrow BC=\sqrt{0+9+9}=3\sqrt{2}\Rightarrow R_{\text{đaˊy}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$.
Vì $SA\perp (ABC)$ nên bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là $R^2=R_{\text{đaˊy}}^2+{\left(\frac{SA}{2}\right)}^2$.
Thay số: ${\left(\frac{3\sqrt{11}}{2}\right)}^2=\frac{99}{4}=\frac{18}{4}+\frac{S{A}^2}{4}\Rightarrow S{A}^2=81\Rightarrow SA=9$.
Véctơ pháp tuyến của $(ABC)$: $[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]=(1(-1)-2(-2);2(2)-2(-1);2(-2)-1(2))=(3;6;-6)=3(1;2;-2)$.
Véctơ đơn vị cùng phương với VTPT: $\vec{u}=\frac{(1;2;-2)}{\sqrt{1+4+4}}=\left(\frac{1}{3};\frac{2}{3};-\frac{2}{3}\right)$.
Vì $S$ có cao độ âm và $z_A=2$ nên ta lấy $S=A+9\vec{u}=(1+3;0+6;2-6)=(4;6;-4)$.