Gọi $S$ là tập hợp các giá trị nguyên của tham số $m$ sao cho phương trình $25^x-m\cdot 5^{x+1}+7m^2-7=0$ có hai nghiệm phân biệt. Tập $S$ có bao nhiêu phần tử?

Đặt $t=5^x$ ($t>0$), phương trình trở thành: $t^2-5mt+7m^2-7=0$ (*).
Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì phương trình (*) phải có hai nghiệm dương phân biệt $t_1>t_2>0$:
$\{\begin{array}{l}\Delta >0\\ S>0\\ P>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}(5m{)}^2-4(7m^2-7)>0\\ 5m>0\\ 7m^2-7>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}-3m^2+28>0\\ m>0\\ m^2>1\end{array}$
$\iff \{\begin{array}{l}{m}^2<\frac{28}{3}\\ m>0\\ m>1\end{array}\iff 1<m<\sqrt{\frac{28}{3}}\approx 3.055$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{2;3\}$.
Vậy tập hợp $S$ có đúng $2$ phần tử.