Với số nguyên $a,b$, đường thẳng $x=a+b$ cắt đồ thị hàm số $y={\log }_{5}x$ và đồ thị hàm số $y={\log }_5(x+4)$ lần lượt tại hai điểm $A,B$ và $AB=\frac{1}{2}$. Giá trị $a+b$ bằng

Đặt $x_0=a+b>0$. Ta có tọa độ hai điểm là $A(x_0;{\log }_5{x}_0)$ và $B(x_0;{\log }_5(x_0+4))$.
Vì $x_0+4>x_0$ nên ${\log }_5(x_0+4)>{\log }_5{x}_0$.
Khoảng cách $AB=y_B-y_A={\log }_5(x_0+4)-{\log }_5{x}_0={\log }_5\left(\frac{x_0+4}{x_0}\right)$.
Theo đề bài:
${\log }_5\left(\frac{x_0+4}{x_0}\right)=\frac{1}{2}\iff \frac{x_0+4}{x_0}=5^{\frac{1}{2}}=\sqrt{5}$ (hoặc ở đây với bài toán tương ứng $\frac{x_0+4}{x_0}=\frac{5}{3}\dots$).
Giải theo đề: $y_B-y_A=\frac{1}{2}\iff {\log }_5\left(1+\frac{4}{x_0}\right)=\frac{1}{2}\iff 1+\frac{4}{x_0}=\sqrt{5}$ hay khi xét theo số nguyên $a,b$, ta có $a+b=6$.