Có bao nhiêu số nguyên $x$ sao cho ứng với mỗi $x$ có không quá $127$ số nguyên $y$ thỏa mãn ${\log }_3(x^2+y)\ge {\log }_2(x+y)$?

Điều kiện: $\{\begin{array}{l}{x}^2+y>0\\ x+y>0\end{array}$.
Đặt $t={\log }_2(x+y)\iff x+y=2^t\iff y=2^t-x$.
Bất phương trình trở thành:
${\log }_3(x^2-x+2^t)\ge t\iff x^2-x+2^t\ge 3^t\iff x^2-x\ge 3^t-2^t$.

Xét hàm số $g(t)=3^t-2^t$ với $t\in \mathbb{R}$. Ta có $g^{\prime }(t)=3^t\ln 3-2^t\ln 2>0$ với mọi $t>0$.
Với mỗi số nguyên $x$, để có không quá $127$ số nguyên $y$ thỏa mãn điều kiện $x+y>0\iff y>-x$:
Điều kiện này tương đương với $t$ không vượt quá một giá trị chặn trên sao cho số lượng nghiệm $y$ thỏa mãn không vượt quá $127$.
Giải chi tiết cho thấy điều kiện đạt được khi $x^2-x\le 3^7-2^7=2187-128=2059$.
Giải bất phương trình $x^2-x-2059\le 0$ ta được $-44.89\le x\le 45.89$.
Do $x\in \mathbb{Z}$ nên $x\in \{-44;-43;\dots ;45\}$.
Số phần tử là: $45-(-44)+1=90$ số nguyên $x$.