Trên mặt phẳng tọa độ, cho parabol $(P):y=x^2$ và $d$ là đường thẳng đi qua điểm $M(1;2)$. Biết rằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi $d$ và $(P)$ bằng $\frac{4}{3}$. Gọi $A,B$ là giao điểm của $d$ và $(P)$. Độ dài đoạn thẳng $AB$ thuộc khoảng nào sau đây?

Đường thẳng $d$ đi qua $M(1;2)$ với hệ số góc $k$ có phương trình: $y=k(x-1)+2$.
Phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và $(P)$ là:
$x^2-kx+k-2=0$.
Biệt thức $\Delta =k^2-4(k-2)=k^2-4k+8=(k-2{)}^2+4>0$ với mọi $k$.
Gọi $x_1<x_2$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình. Theo định lí Vi-ét:
$x_1+x_2=k$, $x_1{x}_2=k-2$.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $d$ và $(P)$ là:
$S={\int }_{x_1}^{x_2}(-x^2+kx-k+2)dx=\frac{1}{6}(x_2-x_1{)}^3=\frac{1}{6}(\sqrt{\Delta }{)}^3=\frac{1}{6}(k^2-4k+8{)}^{\frac{3}{2}}$.
Theo đề bài, $S=\frac{4}{3}$, suy ra:
$\frac{1}{6}(k^2-4k+8{)}^{\frac{3}{2}}=\frac{4}{3}\iff (k^2-4k+8{)}^{\frac{3}{2}}=8\iff k^2-4k+8=4\iff (k-2{)}^2=0\iff k=2$.

Với $k=2$, phương trình hoành độ giao điểm trở thành $x^2-2x=0\iff x=0$ hoặc $x=2$.
Tọa độ hai giao điểm là $A(0;0)$ và $B(2;4)$.
Độ dài đoạn thẳng $AB$ là: $AB=\sqrt{(2-0{)}^2+(4-0{)}^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\approx 4.472$.
Vì $4<4.472<4.5=\frac{9}{2}$, nên độ dài đoạn thẳng $AB$ thuộc khoảng $\left(4;\frac{9}{2}\right)$.