Câu 6. Biết ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{x+x\cos x-{\sin }^{2}x}{1+\cos x}dx=\frac{{\pi }^2}{a}-\frac{\pi }{b}+c$, trong đó $a,b,c$ là các số nguyên dương. Tính $S=a+b+c$.

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và ${\int }_0^{4}f(x)dx=8$, ${\int }_3^{4}f(x)dx=2$. Tích phân ${\int }_0^{3}f(x)dx$ bằng

Tính tích phân $I={\int }_1^2\frac{dx}{2x+3}$.

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(4)=2023$ và ${\int }_0^{4}f(x)dx=4$. Tích phân ${\int }_0^{2}x{f}^{\prime }(2x)dx$ bằng

Cho hai đồ thị hàm số $f(x)$ và $g(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và hàm số $f^{\prime }(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$, $g^{\prime }(x)=q{x}^2+nx+p$ với $a,q\ne 0$ có đồ thị như hình vẽ. Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ và $y=g^{\prime }(x)$ bằng 10 và $f(2)=g(2)$. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$.


Nếu ${\int }_0^{3}f(x)\mathrm{d}x=4$ thì ${\int }_0^3\left[\frac{1}{4}f(x)+3\right]\mathrm{d}x$ bằng

Nếu ${\int }_{-2}^{1}f(x)\mathrm{d}x=3$ và ${\int }_{-2}^{4}f(t)\mathrm{d}t=-6$ thì $I={\int }_1^{4}f(u)\mathrm{d}u$ bằng