Câu 1. Một quần thể vi khuẩn ban đầu gồm $500$ vi khuẩn, sau đó bắt đầu tăng trưởng. Gọi $P(t)$ là số lượng vi khuẩn của quần thể đó tại thời điểm $t$, trong đó $t$ tính theo ngày ($0\le t\le 10$). Tốc độ tăng trưởng của quần thể vi khuẩn đó cho bởi hàm số $P^{\prime }(t)=\frac{k}{2}\cdot t$, trong đó $k$ là hằng số. Sau $1$ ngày, số lượng vi khuẩn của quần thể đó là $600$ vi khuẩn. Tính số lượng vi khuẩn của quần thể đó sau $9$ ngày.

Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f^{\prime }(x)=4x+3$ và $f(1)=-1$. Biết rằng phương trình $f(x)=10$ có hai nghiệm thực $x_1,x_2$. Giá trị của tổng ${\log }_2|x_1|+{\log }_2|x_2|$ là

Cho hàm số $f(x)=\ln x+3x^2,\forall x\in (0;+\infty )$. Biết $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ thỏa $F(1)=2$, giá trị biểu thức $F(4)-4F(2)$ bằng:

Câu 4. Một nhóm học sinh trường THPT Nguyễn Du thực hiện dự án nghiên cứu xử lý nước thải. Trong quá trình thử nghiệm hệ thống lọc, các bạn theo dõi nồng độ một loại tạp chất tồn dư trong nước. Kết quả cho thấy nồng độ tạp chất $y(t)$ (đơn vị: $\text{mg/lıˊt}$) tồn dư trong nước tại thời điểm $t$ (giờ) ($t\ge 0$) kể từ lúc bắt đầu lọc thỏa mãn $y(t)>0$ và $y^{\prime }(t)=k\sqrt{y(t)}(t\ge 0)$, trong đó $k$ là một hằng số. Đo nồng độ tạp chất tại các thời điểm $t=0$ (giờ) và $t=8$ (giờ) nhận được kết quả lần lượt là $100\text{ mg/lıˊt}$ và $36\text{ mg/lıˊt}$.

Câu 2. Cho hàm số $f(x)$ thoả mãn $f(0)=4$ và $f^{\prime }(x)=6{\sin }^{2}x+2,\forall x\in \mathbb{R}$. Tính tích phân ${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}f(x)\mathrm{d}x$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Giả sử $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ thỏa mãn $F(-2)+F(1)=0$. Giá trị của $F(-1)+F(2)$ bằng:

Câu 4. Xét hàm số $f(x)=x+\sin x$ trên $\mathbb{R}$.