Trong hệ tọa độ $Oxy$, parabol $y=\frac{x^2}{2}$ chia đường tròn tâm $O$ (với $O$ là gốc tọa độ) bán kính $r=2\sqrt{2}$ thành 2 phần. Diện tích phần nhỏ bằng

Diện tích của phần hình phẳng gạch chéo trong hình bên bằng

Trên mặt phẳng tọa độ, cho parabol $(P):y=x^2$ và $d$ là đường thẳng đi qua điểm $M(1;2)$. Biết rằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi $d$ và $(P)$ bằng $\frac{4}{3}$. Gọi $A,B$ là giao điểm của $d$ và $(P)$. Độ dài đoạn thẳng $AB$ thuộc khoảng nào sau đây?

Cho hai đồ thị hàm số $f(x)$ và $g(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và hàm số $f^{\prime }(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$, $g^{\prime }(x)=q{x}^2+nx+p$ với $a,q\ne 0$ có đồ thị như hình vẽ. Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ và $y=g^{\prime }(x)$ bằng 10 và $f(2)=g(2)$. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$.


Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ và hàm số bậc hai $y=g(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Biết rằng đồ thị hàm số $y=f(x)$ cắt đồ thị hàm số $y=g(x)$ tại ba điểm phân biệt có hoành độ $x_1,x_2,x_3$ thỏa mãn $x_1{x}_2{x}_3=-5$. Diện tích miền tô đậm nằm trong khoảng nào sau đây?

[IMAGE:img_1]

Hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f(x)+x{f}^{\prime }(x)+f^{\prime }(x)=4x^3-6x^2-2x+4$. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y=f(x)$ và $y=f^{\prime }(x)$.

Cho hàm đa thức bậc bốn y  f  x  . Biết rằng hàm số g  x   e f  x  có bảng biến thiên như sau:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f   x  và y  g   x  thuộc khoảng nào dưới
đây?