Trong không gian $Oxyz$, hãy tính số đo góc $\alpha$ giữa đường thẳng $d:\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{-1}$ và mặt phẳng $(P):x-2y+2z+1=0$.

Trong không gian $Oxyz$, với mặt phẳng $(Oxy)$ là mặt đất, một máy bay cất cánh từ vị trí $A\left(0;10;0\right)$ với vận tốc $\vec{v}=\left(150;150;40\right)$. Tính góc nâng của máy bay (góc giữa hướng chuyển động bay lên của máy bay với mặt đất và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Trong không gian $Oxyz$, góc giữa đường thẳng $(d):\{\begin{array}{l}x=2-2t\\ y=1+2t\\ z=1\end{array}$ và mặt phẳng $(Oyz)$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, góc giữa đường thẳng $(d):\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=3-t\\ z=2+\sqrt{3}t\end{array}$ và mặt phẳng $(Oxz)$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $\Delta :\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\\ z=z_0+ct\end{array}$ và mặt phẳng $(P):Ax+By+Cz+D=0$. Góc giữa $\Delta$ và $(P)$ được tính theo công thức đúng là

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt đáy là trung điểm $M$ của cạnh $AD$, $SM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Gọi $N$ là trung điểm của cạnh $BC$. Tính $\sin$ của góc giữa $SN$ và mặt phẳng $(SBM)$.

Khi gắn hệ tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét) vào một sân bay, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt sân bay. Một máy bay bay theo đường thẳng từ vị trí $A(3;-2;3)$ đến vị trí $B(8;8;0)$. Góc giữa đường bay (một phần của đường thẳng $AB$) và sân bay (một phần của mặt phẳng $(Oxy)$) bằng $\alpha$ độ. Khi đó, giá trị của $\alpha$ bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).