Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt đáy là trung điểm $M$ của cạnh $AD$, $SM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Gọi $N$ là trung điểm của cạnh $BC$. Tính $\sin$ của góc giữa $SN$ và mặt phẳng $(SBM)$.

Khi gắn hệ tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét) vào một sân bay, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt sân bay. Một máy bay bay theo đường thẳng từ vị trí $A(3;-2;3)$ đến vị trí $B(8;8;0)$. Góc giữa đường bay (một phần của đường thẳng $AB$) và sân bay (một phần của mặt phẳng $(Oxy)$) bằng $\alpha$ độ. Khi đó, giá trị của $\alpha$ bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;-1;-2)$, $B(0;-3;-1)$ và mặt phẳng $(P):2x+4y-2z+23=0$. Tính góc giữa đường thẳng $AB$ và mặt phẳng $(P)$.

Câu 11. [TH] Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta :\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{2}$ và mặt phẳng $(\alpha ):x+y-z-2=0$. Cosin của góc tạo bởi đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(\alpha )$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x-2y-2z+3=0$ và hai điểm $A(-1;0;-2),B(1;2;-1)$. Góc giữa mặt phẳng $(P)$ và đường thẳng $AB$ bằng (đơn vị: radian, làm tròn đến hàng phần trăm):

Trong không gian $Oxyz$, cho $M(1;-3;4)$, đường thẳng $d:\frac{x}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z-1}{2}$ và mặt phẳng $(P):x+2y-2z+2=0$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh bằng 1, $SA\perp (ABCD)$ và $SA=\sqrt{2}$. Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(SAC)$. Khi đó $\alpha$ thỏa mãn hệ thức nào sau đây?