Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x-2y-2z+3=0$ và hai điểm $A(-1;0;-2),B(1;2;-1)$. Góc giữa mặt phẳng $(P)$ và đường thẳng $AB$ bằng (đơn vị: radian, làm tròn đến hàng phần trăm):

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh bằng 1, $SA\perp (ABCD)$ và $SA=\sqrt{2}$. Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(SAC)$. Khi đó $\alpha$ thỏa mãn hệ thức nào sau đây?

Trên một sườn núi (có độ nghiêng đều), người ta trồng một cây thông và muốn giữ nó không bị nghiêng bằng hai sợi dây neo như hình bên. Giả thiết cây thông mọc thẳng đứng và trong một hệ tọa độ phù hợp, các điểm $O$ (gốc cây thông) và $A$, $B$ (nơi buộc dây neo) có tọa độ tương ứng là $O(0;0;0)$, $A(3;-4;2)$, $B(-5;-2;1)$, đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét. Biết rằng hai dây neo đều được buộc vào cây thông tại điểm $(0;0;5)$ và được kéo căng tạo thành các đoạn thẳng. Tính tổng các góc tạo bởi mỗi dây neo và mặt phẳng sườn núi (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=4,AD=2$. Đường thẳng $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng $(SCD)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $45^{\circ }$. Lấy các điểm $M$ và $N$ thỏa mãn $\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=\vec{0}$ và $\overrightarrow{NS}+4\overrightarrow{ND}=\vec{0}$. Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $(SAC)$. Giá trị của ${\cos }^2\alpha$ là

Câu 2. Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $AB=a$ và $A{A}^{\prime }=2a$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm các cạnh $A^{\prime }{B}^{\prime },A^{\prime }{C}^{\prime }$ và $BC$ (tham khảo hình vẽ bên dưới).

Xét tính đúng, sai của các mệnh đề dưới đây?

Câu 2. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=4,AD=2$. Đường thẳng $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng $(SCD)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $45^{\circ }$. Lấy các điểm $M$ và $N$ thỏa mãn $\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=\vec{0}$ và $\overrightarrow{NS}+4\overrightarrow{ND}=\vec{0}$. Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $(SAC)$. Giá trị của ${\cos }^2\alpha$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-x_0}{a_1}=\frac{y-y_0}{a_2}=\frac{z-z_0}{a_3}$ $(a_1,a_2,a_3\ne 0)$ và mặt phẳng $(P):Ax+By+Cz+D=0$ $(A^2+B^2+C^2>0)$. Góc của đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ được tính bởi công thức nào sau đây?