Câu 2. Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $AB=a$ và $A{A}^{\prime }=2a$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm các cạnh $A^{\prime }{B}^{\prime },A^{\prime }{C}^{\prime }$ và $BC$ (tham khảo hình vẽ bên dưới).

Xét tính đúng, sai của các mệnh đề dưới đây?

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A=(0,0,0)$, $B=(a,0,0)$, $C=(\frac{a}{2},\frac{\sqrt{3}a}{2},0)$, $A^{\prime }=(0,0,2a)$, $B^{\prime }=(a,0,2a)$, $C^{\prime }=(\frac{a}{2},\frac{\sqrt{3}a}{2},2a)$. Khi đó $M=(\frac{a}{2},0,2a)$, $N=(\frac{a}{4},\frac{\sqrt{3}a}{4},2a)$, $P=(\frac{3a}{4},\frac{\sqrt{3}a}{4},0)$.
a) $\overrightarrow{NP}=(\frac{a}{2},0,-2a)$, $|NP|=\frac{a\sqrt{17}}{2}$. Góc giữa $NP$ và $(ABC)$: $\sin \alpha =\frac{2a}{a\sqrt{17}/2}=\frac{4}{\sqrt{17}}$, nên $\tan \alpha =4\ne \frac{1}{4}$ → Sai.
b) ${\vec{u}}_{B{B}^{\prime }}=(0,0,1)$, ${\vec{u}}_{A^{\prime }{C}^{\prime }}=(\frac{a}{2},\frac{\sqrt{3}a}{2},0)$, $\vec{u}\times \vec{v}=(-\frac{\sqrt{3}a}{2},\frac{a}{2},0)$, độ dài $a$. $\overrightarrow{B{A}^{\prime }}=(-a,0,0)$, khoảng cách $=\frac{|\overrightarrow{B{A}^{\prime }}\cdot (\vec{u}\times \vec{v})|}{a}=\frac{\sqrt{3}a}{2}\ne a$ → Sai.
c) $V_{AC{A}^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot A{A}^{\prime }=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}{a}^2}{4}\cdot 2a=\frac{\sqrt{3}{a}^3}{6}$ → Đúng.
d) $\overrightarrow{MN}=(-\frac{a}{4},\frac{\sqrt{3}a}{4},0)$, $\overrightarrow{MP}=(\frac{a}{4},\frac{\sqrt{3}a}{4},-2a)$. VTPT $(MNP)$: $\vec{n}=\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{MP}\propto (4\sqrt{3},4,\sqrt{3})$, $|\vec{n}|=\sqrt{48+16+3}=\sqrt{67}$. $\cos \theta =\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{67}}=\frac{\sqrt{201}}{67}$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tính tọa độ được $\tan \alpha =4$, không phải $1/4$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách giữa $B{B}^{\prime }$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng $\frac{\sqrt{3}a}{2}$, không phải $a$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$V=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}{a}^2}{4}\cdot 2a=\frac{\sqrt{3}{a}^3}{6}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
VTPT của $(MNP)$ tỉ lệ $(4\sqrt{3},4,\sqrt{3})$, $\cos \theta =\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{67}}=\frac{\sqrt{201}}{67}$.