Câu 1. Cho tập hợp $A=\{1;2;3;4;5;6;7;8\}$. $B$ là tập tất cả các số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau lấy từ $A$ có dạng $\overline{abcd}$. $C$ là tập tất cả các số tự nhiên gồm 8 chữ số đôi một khác nhau lấy từ $A$.

(AI giải đề cho tôi)
$|B|=A_8^4=1680$, $|C|=8!=40320$.

a) Số 8 chữ số $N=\overline{abcdabcd}=10000x+y$ với $x,y$ là khối 4 chữ số. $N=9999x+(x+y)$ nên cần $1111\mid (x+y)$. Vì các chữ số 1..8 dùng đúng một lần, $x+y\equiv 36\equiv 0(\mathrm{mod}9)$, và $6912\le x+y\le 13086$ nên $x+y=9999$ (các bội khác 7777, 8888, 11110, 12221 không chia hết cho 9). Khi đó mỗi cột chữ số có tổng 9, tức các cặp $\{1;8\},\{2;7\},\{3;6\},\{4;5\}$ xếp vào 4 cột: $4!\cdot 2^4=384$ cách. Xác suất $=\frac{384}{40320}=\frac{1}{105}$ → đúng.

b) Số thuộc $B$ có chữ số 3: $4\cdot A_7^3=840$; không có 3: $A_7^4=840$. Chọn thứ tự 2 số khác nhau: $1680\cdot 1679$ cách; đúng một số có chữ số 3: $2\cdot 840\cdot 840$. Xác suất $=\frac{2\cdot 840^2}{1680\cdot 1679}=\frac{840}{1679}\ne \frac{420}{1679}$ → sai.

c) Chẵn: $\{2;4;6;8\}$, lẻ: $\{1;3;5;7\}$. Đếm hoán vị 4 chữ số khác nhau không có hai chữ kề cùng chẵn: 0 số chẵn: $4!=24$; 1 số chẵn: $4\cdot 4\cdot 3!=96$; 2 số chẵn không kề: 3 cách vị trí, $4\cdot 3$ cách chọn chẵn, $4\cdot 3$ cách chọn lẻ → 432. Tổng $552$. Xác suất $=\frac{552}{1680}=\frac{23}{70}\ne \frac{1}{2}$ → sai.

d) Với $a<b<c<d$, số được xác định bởi tập 4 chữ số; số lẻ ⟺ chữ số lớn nhất lẻ. Số tập có max chẵn: max 8: $C_7^3=35$, max 6: $C_5^3=10$, max 4: $1$ → 46. Số tập max lẻ: $70-46=24$ (kiểm tra: max 7: $C_6^3=20$, max 5: $C_4^3=4$). Vậy chỉ có 24 số, không phải 30 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chỉ có $x+y=9999$ thỏa mãn, cho $4!\cdot 2^4=384$ số; xác suất $384/40320=1/105$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Xác suất đúng là $\frac{2\cdot 840\cdot 840}{1680\cdot 1679}=\frac{840}{1679}$, không phải $\frac{420}{1679}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Số trường hợp thỏa mãn là 552, xác suất $\frac{552}{1680}=\frac{23}{70}\ne \frac{1}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Số tập 4 chữ số có max lẻ là $C_6^3+C_4^3=20+4=24$, không phải 30.