Câu 2. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=4,AD=2$. Đường thẳng $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng $(SCD)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $45^{\circ }$. Lấy các điểm $M$ và $N$ thỏa mãn $\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=\vec{0}$ và $\overrightarrow{NS}+4\overrightarrow{ND}=\vec{0}$. Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $(SAC)$. Giá trị của ${\cos }^2\alpha$ là

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: A(0;0;0), B(4;0;0), D(0;2;0), C(4;2;0), S(0;0;h). Vì AB ∥ CD nên AB ∥ (SCD), góc giữa (SCD) và (ABCD) là góc giữa SA và (SCD)? Thực chất đường cao của góc nhị diện theo cạnh CD: hình chiếu của S xuống đáy là A, khoảng cách từ A đến CD bằng AD = 2, nên tan45° = SA/AD → SA = 2, tức S(0;0;2). Từ MA + 3MB = 0 → 4M = A + 3B → M(3;0;0). Từ NS + 4ND = 0 → 5N = S + 4D → N(0;8/5;2/5). Vậy MN = (−3; 8/5; 2/5), |MN|² = 9 + 64/25 + 4/25 = 293/25. Mặt phẳng (SAC) qua A, có vecto chỉ phương AC = (4;2;0), AS = (0;0;2), vecto pháp tuyến n = AC×AS = (4;−8;0) ∝ (1;−2;0). sin α = |MN·n|/(|MN||n|) với MN·n = −3 − 16/5 = −31/5, |n| = √5. Do đó sin²α = (961/25)/(5·293/25) = 961/1465, nên cos²α = 1 − 961/1465 = 504/1465.