Cho tam giác đều $ABC$ có độ dài cạnh bằng $a$. Nối các trung điểm $A_1$, $B_1$, $C_1$ của các cạnh $BC$, $CA$, $AB$ ta được tam giác đều $A_1{B}_1{C}_1$. Tiếp tục nối các trung điểm $A_2$, $B_2$, $C_2$ của các cạnh $B_1{C}_1$, $C_1{A}_1$, $A_1{B}_1$ ta được tam giác đều $A_2{B}_2{C}_2$, thực hiện quá trình này đến vô hạn. Gọi $p_1,p_2,\dots ,p_n,\dots$ và $S_1,S_2,\dots ,S_n,\dots$ theo thứ tự là chu vi và diện tích của các tam giác $ABC,A_1{B}_1{C}_1,\dots ,A_n{B}_n{C}_n,\dots$.

(AI giải đề cho tôi)
Cạnh của tam giác đều thứ $n$ (tức $A_n{B}_n{C}_n$, với $ABC$ ứng $n=0$... theo đề: $p_1$ là chu vi $ABC$) bằng $\frac{a}{2^{n-1}}$, nên $p_n=\frac{3a}{2^{n-1}}$ và $S_n=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{a^2}{4^{n-1}}$.

a) $h_1=A{A}_1=\frac{\sqrt{3}a}{2}$ (đường cao của $ABC$); $h_2=A_1{A}_2=\frac{\sqrt{3}a}{4}$ (đường cao của $A_1{B}_1{C}_1$); tổng quát $h_n=\frac{\sqrt{3}a}{2^n}$. Dãy $\{h_n\}$ cấp số nhân công bội $\frac{1}{2}$, nên $\lim v_n=\frac{\sqrt{3}a/2}{1-1/2}=\sqrt{3}a$. Đúng.

b) $\lim p_n=\lim \frac{3a}{2^{n-1}}=0\ne 3a$. Sai.

c) Tam giác $A_3{B}_3{C}_3$ có cạnh $\frac{a}{2^3}=\frac{a}{8}$, nên $S_3=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{a^2}{64}=\frac{\sqrt{3}}{256}{a}^2\ne \frac{\sqrt{3}}{64}{a}^2$. Sai.

d) $p=p_1+p_2+\dots =\frac{3a}{1-1/2}=6a$. Đúng.

Khớp với đáp án nguồn: Đ, S, S, Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$h_n=\frac{\sqrt{3}a}{2^n}$, tổng cấp số nhân $\lim v_n=\frac{\sqrt{3}a/2}{1-1/2}=\sqrt{3}a$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$p_n=\frac{3a}{2^{n-1}}\to 0$, không phải $3a$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Cạnh $A_3{B}_3{C}_3=\frac{a}{8}$ nên $S_3=\frac{\sqrt{3}}{256}{a}^2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng cấp số nhân $\frac{3a}{1-1/2}=6a$.