Trong không gian $Oxyz$, với mặt phẳng $(Oxy)$ là mặt đất, một máy bay cất cánh từ vị trí $A\left(0;10;0\right)$ với vận tốc $\vec{v}=\left(150;150;40\right)$. Tính góc nâng của máy bay (góc giữa hướng chuyển động bay lên của máy bay với mặt đất và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Bên trong một căn nhà bỏ hoang hình lập phương cạnh $5m$ có 3 chú nhện sinh sống. Mùa đông đến, vì đói rét nên chúng đành quyết định hợp tác với nhau giăng lưới để bắt mồi. Ba chú nhện tính toán sẽ giăng một mảnh lưới hình tam giác theo cách sau: Mỗi chú nhện sẽ đứng ở mép tường bất kì (có thể mép giữa 2 bức tường, giữa tường với trần, hoặc giữa tường với nền) rồi phóng những sợi tơ làm khung đến vị trí của 2 con nhện còn lại rồi sau đó mới phóng tơ đính dán phần lưới bên trong. Chúng quy định không có bất kì 2 con nhện nào cùng nằm trên một mặt tường, nền hoặc trần nhà. Chu vi nhỏ nhất của mảnh lưới được giăng (biết các sợi tơ khung căng và không nhùn) là $\frac{m}{p}\sqrt{n}$ với $m;n;p\in {\mathbb{N}}^{\ast }$; $\frac{m}{p}$ là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức $m+n+p$.

Hai quả bóng bay được thả lên cùng một địa điểm. Sau một khoảng thời gian, quả bóng thứ nhất nằm cách địa điểm xuất phát 200m về hướng Đông và 200m về hướng Nam, đồng thời cách mặt đất 50m; quả bóng thứ hai nằm cách địa điểm xuất phát 100m về hướng Tây và 100m về hướng Bắc, đồng thời cách mặt đất 40m. Cùng thời điểm đó, một người đứng trên mặt đất quan sát thấy hai quả bóng này. Biết rằng so với các vị trí quan sát trên mặt đất, vị trí người đứng có tổng khoảng cách đến hai quả bóng bay là nhỏ nhất. Tính khoảng cách từ vị trí người quan sát đến địa điểm thả hai quả bóng bay này (đơn vị: mét) (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị đo lấy theo km), radar phát hiện một chiếc máy bay di chuyển với tốc độ và hướng không đổi từ điểm $A(800;500;7)$ đến điểm $B(940;550;8)$ trong 10 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên tốc độ và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo là $D(x;y;z)$. Khi đó, $x-y+z$ bằng bao nhiêu?

Một tấm pin năng lượng mặt trời hình chữ nhật $ABCD$ có kích thước $AB=2m$ và $BC=3m$. Tấm pin được đặt nghiêng sao cho cạnh $AB$ nằm sát trên mặt đất phẳng. Một bóng đèn (xem như một điểm) được đặt tại vị trí $S$ cao $4m$ có hình chiếu vuông góc lên mặt đất trùng với trung điểm $I$ của cạnh $AB$. Vào buổi tối khi bật đèn lên bóng của tấm pin trên mặt đất tạo thành một hình thang cân $AB{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ (với $C^{\prime },D^{\prime }$ lần lượt là bóng của $C,D$). Biết rằng hình thang cân $AB{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có chiều cao bằng $4,5m$. Hãy tính diện tích lớn nhất của hình thang cân $AB{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là bóng của tấm pin trên mặt đất? (Đơn vị: $m^2$, làm tròn kết quả đến hàng phần chục)

Cận kề ngày Tết cổ truyền, anh Nghĩa dự định trang trí hệ thống đèn LED cho khoảng sân nhà hình chữ nhật $MNPQ$ có chiều dài $MQ=12m,MN=8m$. Để cung cấp điện cho hệ thống đèn LED, anh Nghĩa đi dây điện theo trình tự: $A\to B\to C\to O\to D\to E\to F\to H$ (như hình vẽ bên). Trong đó:
- Điểm $A$ nằm trên cột cổng cao $3m$, vị trí chân cột cách cây Nêu $3m$ và chân cột nằm trên đoạn $MQ$.
- Đoạn $BC$ nằm trên bức tường hình chữ nhật $PQIJ$ có $PJ=4m$ (bức tường vuông góc với mặt đất), độ dài $BC=3m$ và $BC\parallel IJ$.
- Điểm $O$ nằm trên mái che hình chữ nhật $IJUV$ có $JU=10m$ (mái che song song với mặt đất).
- Cột đèn đặt tại góc $N$ và điểm $D$ nằm trên cột đèn cao $3m$.
- Điểm $E,F$ nằm trên thân cây Nêu sao cho $EF=2m$. Cây Nêu $MG$ vuông góc với đất tại $M$, chiều cao $MG=10m$.
- Điểm $H$ cách đỉnh $G$ một khoảng $HG=0.5m$ ($HG$ song song với mặt đất).

Tính tổng độ dài dây điện ngắn nhất mà anh Nghĩa cần sử dụng để hoàn thành hệ thống đèn trang trí này. (Đơn vị: mét, làm tròn kết quả đến hàng phần chục)

Một tấm pin năng lượng mặt trời hình chữ nhật $ABCD$ có kích thước $AB=2m$ và $BC=3m$. Tấm pin được đặt nghiêng sao cho cạnh $AB$ nằm sát trên mặt đất phẳng. Một bóng đèn (xem như một điểm) được đặt tại vị trí $S$ cao $4m$ có hình chiếu vuông góc lên mặt đất trùng với trung điểm $I$ của cạnh $AB$. Vào buổi tối khi bật đèn lên bóng của tấm pin trên mặt đất tạo thành một hình thang cân $AB{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ (với $C^{\prime },D^{\prime }$ lần lượt là bóng của $C,D$). Biết rằng hình thang cân $AB{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có chiều cao bằng $4,5m$. Hãy tính diện tích nhỏ nhất của hình thang cân $AB{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là bóng của tấm pin trên mặt đất? (Đơn vị: $m^2$, làm tròn kết quả đến hàng phần chục)