Một tấm pin năng lượng mặt trời hình chữ nhật $ABCD$ có kích thước $AB=2m$ và $BC=3m$. Tấm pin được đặt nghiêng sao cho cạnh $AB$ nằm sát trên mặt đất phẳng. Một bóng đèn (xem như một điểm) được đặt tại vị trí $S$ cao $4m$ có hình chiếu vuông góc lên mặt đất trùng với trung điểm $I$ của cạnh $AB$. Vào buổi tối khi bật đèn lên bóng của tấm pin trên mặt đất tạo thành một hình thang cân $AB{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ (với $C^{\prime },D^{\prime }$ lần lượt là bóng của $C,D$). Biết rằng hình thang cân $AB{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có chiều cao bằng $4,5m$. Hãy tính diện tích nhỏ nhất của hình thang cân $AB{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là bóng của tấm pin trên mặt đất? (Đơn vị: $m^2$, làm tròn kết quả đến hàng phần chục)

Trong một khu đô thị, người ta quy ước một hệ trục tọa độ không gian $Oxyz$ (đơn vị độ dài tính bằng mét). Hai điểm $A(20;15;20),B(60;20;15)$ biểu diễn vị trí tương đối của hai cột kỹ thuật chiếu sáng. Một tuyến cáp kỹ thuật ngầm được bố trí thẳng theo trục $Ox$. Người ta chọn một điểm $M$ trên tuyến cáp này để đặt hộp điều khiển trung tâm. Hệ thống cần sử dụng các đoạn cáp thẳng nối từ $M$ đến $A$, từ $M$ đến $B$ và một đoạn cáp cố định nối trực tiếp giữa hai cột $A$ và $B$. Xác định tọa độ điểm $M$ sao cho tổng chiều dài cáp cần sử dụng là nhỏ nhất, và tính tổng chiều dài cáp đó (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Trong một khu đô thị, người ta quy ước một hệ trục tọa độ không gian $Oxyz$ (đơn vị độ dài tính bằng mét). Hai điểm $A(10;24;18),B(50;18;24)$ biểu diễn vị trí tương đối của hai cột kỹ thuật chiếu sáng. Một tuyến cáp kỹ thuật ngầm được bố trí thẳng theo trục $Ox$. Người ta chọn một điểm $M$ trên tuyến cáp này để đặt hộp điều khiển trung tâm. Hệ thống cần sử dụng các đoạn cáp thẳng nối từ $M$ đến $A$, từ $M$ đến $B$ và một đoạn cáp cố định nối trực tiếp giữa hai cột $A$ và $B$. Xác định tọa độ điểm $M$ sao cho tổng chiều dài cáp cần sử dụng là nhỏ nhất, và tính tổng chiều dài cáp đó (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Trong không gian $Oxyz$, với đơn vị dài trên mỗi trục là $1dm$. Một con ong mật xuất phát tại vị trí điểm $A(3;2;1)$ bay xuống mặt phẳng $(Oxy)$ nó nghỉ tại chỗ một lát rồi sau đó bay đến mặt phẳng $(P):y-z=0$. Tại mặt phẳng $(P)$ con ong mật cẩn thận bò đi một đoạn đường thẳng có độ dài bằng $2dm$, sau đó nó bay trở về vị trí xuất phát. Tính độ dài ngắn nhất của quãng đường mà con ong mật đã thực hiện (kết quả tính theo đơn vị $dm$ và làm tròn đến hàng phần trăm).

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;1;1)$, $B(-2;1;0)$, $C(2;-3;1)$. Điểm $S(a;b;c)\in (Oyz)$ sao cho $P=S{A}^2+S{B}^2+3S{C}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $T=a+b+c$?

a) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=4,AD=2$. Đường thẳng $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng $(SCD)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $45^{\circ }$. Lấy các điểm $M,N$ lần lượt thuộc các cạnh $AB,SD$ sao cho $MA=3MB,\overrightarrow{NS}+4\overrightarrow{ND}=\vec{0}$. Tính thể tích khối tứ diện $SMNC$ và $\sin \alpha$, với $\alpha$ là góc tạo bởi đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $(SAC)$.

b) Một cuộc diễn tập phóng không được giả lập trong không gian $Oxyz$, mỗi đơn vị trên trục có độ dài 1 km ứng với thực tế. Hai drone bay thẳng đều trong hệ trục, xét tại thời điểm $t=0$ drone 1 ở tại điểm $A(2;-3;2)$, bay theo hướng vectơ $\vec{n}=(3;4;-1)$ và có vận tốc $v_1=16\sqrt{26}$ km/h; drone 2 ở tại điểm $B(-3;1;1)$, bay theo hướng vectơ $\vec{b}=(5;2;-1)$ và có vận tốc $v_2=16\sqrt{30}$ km/h. Tìm khoảng cách gần nhất của hai drone này khi ta theo dõi trong 10 phút đầu tiên.

Cho hình chóp $SABCD$, có đáy là hình vuông cạnh $a$, tam giác $SAB$ đều. Gọi $M$ là điểm trên cạnh $AD$ sao cho $AM=x,x\in (0;a)$. Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $M$ và song song với $(SAB)$ lần lượt cắt các cạnh $CB,CS,SD$ tại $N,P,Q$. Để diện tích $MNPQ$ bằng $\frac{a^2\sqrt{3}}{5}$ thì $x=t.a$. Tìm $t$.