Xét hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^2-4x+4$, trục tung, trục hoành và đường thẳng $x=3$. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình $(H)$ quanh trục $Ox$.

Tập nghiệm của bất phương trình $2^x<1$ là

Nghiệm của phương trình $3^{2x+1}=27$ là

Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1=8$ và công sai $d=3$. Số hàng $u_2$ của cấp số cộng là

Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Phát biểu nào sau đây là đúng?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông, cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy $(ABCD)$. Phát biểu nào sau đây là sai?

Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây:



Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?

Tại một thành phố, người ta thực hiện xét nghiệm đại trà để phát hiện Virus X. Qua thống kê, tỉ lệ người dân có kết quả xét nghiệm Dương tính (được máy báo là nhiễm bệnh) là $12\%$. Tuy nhiên, xét nghiệm không chính xác tuyệt đối:

- Trong số những người có kết quả Dương tính, có $5\%$ thực chất là không nhiễm bệnh.
- Trong số những người có kết quả Âm tính (máy báo không nhiễm), có $2\%$ thực chất là đang nhiễm bệnh.

Chọn ngẫu nhiên một người vừa thực hiện xét nghiệm:

Trong hệ trục $Oxy$ đường biên của một Hòn đảo được mô hình hóa bởi hàm số: $f(x)=\frac{-x^2+10x-12}{x}(x>0)$ (đơn vị mỗi trục là $100m$). Ban quản lý Hòn Đảo muốn quây một vùng tam giác an toàn để người dân có thể vui chơi và tắm biển ở khu vực đó. Đặt cố định một điểm ngoài biển tại tọa độ $I(2;8)$ sau đó căng 2 tấm lưới bảo vệ $IA,IB$ với hai điểm $A,B(x_A>x_B>0)$ nằm trên đường biên và luôn thỏa mãn $AB\parallel Ox$.

Cận kề ngày Tết Nguyên Đán. Bác Nghĩa muốn thiết kế một đèn lồng cao $40cm$ để treo lên ở hiên nhà. Mặt cắt ngang tại mọi độ cao vuông góc với trục thẳng đứng của đèn lồng luôn là một hình vuông (xem hình vẽ). Mặt đáy và đỉnh của đèn lồng là hình vuông có cạnh $L_0=10\sqrt{2}(cm)$. Mặt cắt ngang tại vị trí rộng nhất của của đèn lồng là hình vuông (hình vuông có diện tích lớn nhất) có cạnh $L_{max}=14\sqrt{2}(cm)$. Mặt cắt của đèn lồng theo mặt phẳng đứng chứa đường chéo đáy có dạng là hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong Parabol đối xứng nhau qua trục thẳng đứng đi qua tâm đáy của đèn lồng. Một đường cong Parabol $y=f\left(x\right)$ trong bốn đường cong để tạo ra khung đèn lồng được gắn trong hệ trục $Oxy$ với trục $Ox$ biểu diễn chiều cao của chiếc đèn lồng (đơn vị mỗi trục là $1cm$)

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A\left(1;1;2\right)$, $B\left(3;3;0\right)$, $C\left(2;0;1\right)$.

Cận kề ngày Tết cổ truyền, anh Nghĩa dự định trang trí hệ thống đèn LED cho khoảng sân nhà hình chữ nhật $MNPQ$ có chiều dài $MQ=12m,MN=8m$. Để cung cấp điện cho hệ thống đèn LED, anh Nghĩa đi dây điện theo trình tự: $A\to B\to C\to O\to D\to E\to F\to H$ (như hình vẽ bên). Trong đó:
- Điểm $A$ nằm trên cột cổng cao $3m$, vị trí chân cột cách cây Nêu $3m$ và chân cột nằm trên đoạn $MQ$.
- Đoạn $BC$ nằm trên bức tường hình chữ nhật $PQIJ$ có $PJ=4m$ (bức tường vuông góc với mặt đất), độ dài $BC=3m$ và $BC\parallel IJ$.
- Điểm $O$ nằm trên mái che hình chữ nhật $IJUV$ có $JU=10m$ (mái che song song với mặt đất).
- Cột đèn đặt tại góc $N$ và điểm $D$ nằm trên cột đèn cao $3m$.
- Điểm $E,F$ nằm trên thân cây Nêu sao cho $EF=2m$. Cây Nêu $MG$ vuông góc với đất tại $M$, chiều cao $MG=10m$.
- Điểm $H$ cách đỉnh $G$ một khoảng $HG=0.5m$ ($HG$ song song với mặt đất).

Tính tổng độ dài dây điện ngắn nhất mà anh Nghĩa cần sử dụng để hoàn thành hệ thống đèn trang trí này. (Đơn vị: mét, làm tròn kết quả đến hàng phần chục)

Trong dịp Tết Nguyên Đán, bạn Kiên nhận được tiền lì xì ngày mùng 1 là 3.000.000 đồng. Kể từ mùng 2, mỗi ngày tiền lì xì giảm 300.000 đồng so với ngày trước đó. Nhưng đến ngày mùng 3 mẹ bạn Kiên lại nói " Để mẹ giữ tiền cho sau này cưới vợ thì mẹ đưa" nên bạn Kiên quyết định bắt đầu từ ngày hôm đó ngày nào cũng đưa cho mẹ $X$ triệu. Tính $X$ (đơn vị: Triệu đồng) để hết ngày mùng 9, Kiên còn lại đúng 5.000.000 đồng.

Trên một bàn cờ vua, Thông và Nghĩa cùng tham gia một trò chơi xác suất thú vị. Họ đặt một quân Mã tại ô $D4$ và một quân Vua tại ô $F6$. Quy ước rằng trong trò chơi này, hai quân cờ không ăn nhau. Trò chơi được tiến hành như sau:
- Thông: Thực hiện hành trình 4 bước đi sao cho các ô đi qua trong 3 bước đầu không trùng nhau và sau bước thứ 4 Mã phải quay về lại đúng vị trí $D4$ ban đầu.
- Nghĩa: Thực hiện hành trình 3 bước đi và sau bước thứ 3 Vua phải quay về lại đúng vị trí $F6$ ban đầu.
- Trình tự: Hai quân di chuyển xen kẽ nhau, bắt đầu bằng Mã. Cụ thể: Mã đi bước 1 tiếp đến Vua đi bước 1, Mã đi bước 2 tiếp đến Vua đi bước 2... cho đến khi cả hai hoàn tất hành trình.



Xác suất để trong suốt quá trình di chuyển trên, có ít nhất một thời điểm Mã và Vua cùng đứng trên một ô cờ có dạng phân số tối giản $\frac{a}{b}$ $(a,b\in {\mathbb{N}}^{\ast })$. Hãy tính giá trị của $b-5a$?

Cách di chuyển của quân Mã: Mã di chuyển theo đường chéo của hình chữ nhật $2\times 3$ ô vuông. (hoặc $3\times 2$ ô vuông).

Cách di chuyển của quân Vua: Vua có thể di chuyển sang bất kỳ ô liền kề chung cạnh hoặc chung đỉnh xung quanh nó theo hướng ngang, dọc hoặc chéo.

Anh Nghĩa có một mảnh đất dạng hình thang cong $OABC$ (B là điểm cực đại của đồ thị hàm số $y=f(x)$) được mô hình hóa trong mặt phẳng $Oxy$ (đơn vị mỗi trục là $10m$). Anh Nghĩa chia mảnh đất hình thang cong $OABC$ thành 2 phần để làm hồ bơi và làm vườn trồng cỏ được ngăn cách bởi một phần của đồ thị hàm bậc ba $y=f(x)$ như hình vẽ bên. Biết đơn giá làm hồ bơi là 400.000 đồng/ $m^2$, đơn giá trồng cỏ là 200.000 đồng/ $m^2$. Tổng chi phí anh Nghĩa phải trả là 295 triệu đồng. Bên cạnh đó có một con đường nhựa được mô hình hóa bằng hàm $g(x)=\frac{x+1}{x-2}$ $(x>2)$. Anh Nghĩa muốn làm một đoạn đường $MN$ đi từ Vườn anh Nghĩa đến con đường nhựa đó. Hãy tính độ dài ngắn nhất của đoạn đường $MN$ mà anh Nghĩa muốn làm? (Đơn vị mét: làm tròn đến hàng phần trăm)

Một tấm pin năng lượng mặt trời hình chữ nhật $ABCD$ có kích thước $AB=2m$ và $BC=3m$. Tấm pin được đặt nghiêng sao cho cạnh $AB$ nằm sát trên mặt đất phẳng. Một bóng đèn (xem như một điểm) được đặt tại vị trí $S$ cao $4m$ có hình chiếu vuông góc lên mặt đất trùng với trung điểm $I$ của cạnh $AB$. Vào buổi tối khi bật đèn lên bóng của tấm pin trên mặt đất tạo thành một hình thang cân $AB{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ (với $C^{\prime },D^{\prime }$ lần lượt là bóng của $C,D$). Biết rằng hình thang cân $AB{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có chiều cao bằng $4,5m$. Hãy tính diện tích nhỏ nhất của hình thang cân $AB{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là bóng của tấm pin trên mặt đất? (Đơn vị: $m^2$, làm tròn kết quả đến hàng phần chục)

Anh Trọng quyết định mua 2 cây đào và 1 cây mai tại một nhà vườn để trang trí nhà dịp Tết Nguyên Đán. Giá mỗi cây đào là 1.000.000 đồng, giá mỗi cây mai là 2.000.000 đồng. Để kích cầu, nhà vườn đưa ra chính sách: nếu khách hàng mua thêm $x$ cây cảnh nhỏ ($x$ là số nguyên không âm) với giá 50.000 đồng/cây, thì toàn bộ đơn hàng sẽ được vận chuyển về nhà với mức phí tính theo hàm số: $f(x)=x^2-100x+3000$ (đơn vị: nghìn đồng). Biết rằng số lượng cây mua thêm không vượt quá 40 cây để đảm bảo tải trọng xe ($0\le x\le 40$). Tổng chi phí (tiền mua cây và tiền vận chuyển) thấp nhất mà Anh Trọng cần bỏ ra để mua cây trang trí dịp Tết là bao nhiêu nghìn đồng?