Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y=\frac{2x-1}{x+1}$ trên đoạn $[1;2]$.

Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Trong không gian $Oxyz$, tính khoảng cách từ điểm $M(1;2;-3)$ đến mặt phẳng $(P):x+2y-2z-2=0$.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^3-3x$, trục hoành $Ox$ và hai đường thẳng $x=-2$, $x=2$ bằng

Khi điều tra chi phí hàng tháng (đơn vị: triệu đồng) của 25 người còn độc thân ở độ tuổi 30 đến tuổi 35, người ta thu được mẫu số liệu sau: Tìm phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm tròn đến hàng phần trăm).

Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{a}=(0;3;1)$, $\vec{b}=(3;0;-1)$. Tính $\cos (\vec{a},\vec{b})$.

Tìm họ nguyên hàm của $f(x)=\cos x-\sin x$.

Cho hàm số $f(x)=e^x-2x+e$. Xét tính đúng sai các mệnh đề sau:

Bạch Đằng sóng dậy một trời đông,
Cọc ngầm dựng thẳng khóa muôn dòng.
Nam Hán thuyền tan theo triều xuống,
Toàn quân đại thắng giữ non sông.

Chiến thắng Bạch Đằng năm 938 là đỉnh cao nghệ thuật quân sự, khi Ngô Quyền đã đoán định chính xác nhịp lên, xuống của thủy triều để như thủy quân Nam Hán vào sâu bên trong, rồi phản công đúng thời khắc nước rút, qua đó đánh đuổi được giặc xâm lăng ra khỏi bờ cõi. Để mô hình hóa chiến thuật “canh con nước” ấy dưới lăng kính Giải tích, ta xét bài toán sau:



Xét một bãi cọc được đóng sâu xuống bùn theo phương thẳng đứng; chiều cao mỗi cọc (tính từ mặt bùn đến đầu cọc) là 2,4 m.

Gọi $h(t)$ (tính bằng mét) là độ sâu mực nước tại bãi cọc (tính từ mặt bùn đến mặt nước) ở thời điểm $t$ giờ, trong đó $t=0$ ứng với thời điểm 09:00 trong ngày với $0\le t\le 4$. Thời gian này, mực nước rút nên $h(t)$ giảm theo quy luật $h^{\prime }(t)=-0,25t-0,05$ (mét/giờ). Biết rằng vào lúc 09:00, mực nước tại bãi cọc cao hơn mặt bùn 3,3 m (tức là $h(0)=3,3$ (m)).

Khi Ngô Quyền phát lệnh phản công, ông biết rằng thuyền địch sẽ quay đầu tháo chạy và mất 12 phút để tới bãi cọc. Ngô Quyền muốn đúng lúc thuyền địch tới bãi cọc thì đầu cọc còn chìm dưới mặt nước 0,5 m.

Xét tính đúng sai các mệnh đề sau:

Trong không gian $Oxyz$ thuộc hệ thống định vị GPS, bề mặt Trái Đất được mô hình hoá bởi mặt cầu $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-2{)}^2=9$. Hai vệ tinh truyền tín hiệu có vị trí $M(4;-4;2)$, $N(6;0;6)$. Xét tính đúng sai các mệnh đề sau:

Anh Việt có một tấm nhôm hình tam giác đều $ABC$ với cạnh bằng 6 (dm). Bên trong tấm nhôm này, anh vẽ thêm tam giác đều $DEF$ sao cho hai tam giác có cùng trọng tâm, đồng thời các cạnh tương ứng song song nhau. Anh Việt muốn làm một chậu đựng nước dạng hình chóp cụt tam giác đều với đáy nhỏ là $DEF$ và đáy lớn để hở. Anh cắt bỏ ba hình bình hành ở ba góc của tam giác $ABC$ là $AMDN$, $BPEQ$, $CSFR$ (như hình). Kẻ đường cao $AH$ và gọi $O$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Đặt $x=DN=DM$ $(0<x<2)$. Xét tính đúng sai các mệnh đề sau:

Trên một sân khấu ca nhạc, kỹ thuật viên đã thiết lập hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị mét). Hai đèn follow tạo ra hai tia sáng lần lượt có phương trình là $d_1:\{\begin{array}{c}x=1+2t\\ y=2-t\\ z=-1+2t\end{array}$ ($t$ là tham số) và $d_2:\frac{x-3}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{2}$. Tính góc giữa hai tia sáng $d_1$ và $d_2$ và làm tròn đến hàng phần chục của độ.

Giả sử một hạt chuyển động trên một trục thẳng đứng, chiều dương hướng lên. Tọa độ của hạt (đơn vị: mét) tại thời điểm $t$ (giây) là $y=t^3-12t+3$, $t\ge 0$. Tính vận tốc của hạt tại thời điểm $t=8$ giây theo đơn vị m/s.

Một phi đội tại Thái Lan có 20 máy bay, gồm 12 chiếc F-16A (một chỗ ngồi) và 8 chiếc F-16B (hai chỗ ngồi). Trong 12 chiếc F-16A có 3 chiếc đã được nâng cấp chuẩn MLU; trong 8 chiếc F-16B có 5 chiếc đã được nâng cấp chuẩn MLU. Chọn ngẫu nhiên 1 máy bay để kiểm tra, biết rằng máy bay được chọn đã nâng cấp MLU, hãy tính xác suất máy bay đó là F-16B (kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm).

Bạn Xuân Anh có một tờ giấy cứng hình chữ nhật $ABCD$ với $AB=4$ dm, $AD=2$ dm. Bạn chọn một điểm $M$ thuộc cạnh $BC$ rồi dùng thước kẻ vạch và cắt tờ giấy theo đường thẳng $AM$, chia tờ giấy thành hai phần.
- Phần mảnh giấy chứa cạnh CD: Bạn muốn cắt được một hình vuông có đỉnh $D$, hai cạnh nằm trên đường $DA$ và $DC$, đỉnh còn lại hình vuông thuộc đường cắt $AM$.
- Phần mảnh giấy chứa cạnh AB: Bạn muốn cắt được một hình tròn sao cho hình tròn tiếp xúc với cả ba cạnh tam giác $ABM$.
Gọi $S$ (phần tô đậm trong hình vẽ) là tổng diện tích của hình vuông và hình tròn cắt được. Hỏi khi $M$ di động trên $BC$, giá trị nhỏ nhất của $S$ bằng bao nhiêu dm${}^2$ (làm tròn đến hàng phần trăm)?

Một đèn lồng dồn năm mới được thiết kế theo hình bát diện đều (ta có thể hình dung hình bát diện đều là hai hình chóp tứ giác đều có tất cả cạnh bằng nhau $S.ABCD$ và $T.ABCD$ sử dụng chung một mặt đáy). Nghệ nhân đã thiết kế sẵn 12 tấm bìa cứng là các tam giác bằng nhau gồm 3 màu xanh, đỏ, vàng; các tấm bìa cùng màu được đánh số từ 1 tới 4. Mỗi tấm bìa khi dán vào đèn lồng sẽ vừa khít một trong tám mặt bên của nó. Gọi $N$ là số cách mà nghệ nhân có thể chọn 8 tấm bìa dán lên 8 mặt bên của đèn lồng sao cho hai tấm bìa có chung một cạnh thì khác màu, hai tấm bìa có chung đúng một đỉnh thì khác số. Giá trị $\frac{N}{8}+16$ bằng bao nhiêu?

Tìm thể tích phần giao nhau của khối nón $(N)$ và khối trụ $(T)$ biết rằng chúng có cùng chiều cao 4 dm, hai đường tròn đáy đồng phẳng và có bán kính cùng bằng 2 dm, đồng thời trục của hình nón là một đường sinh của hình trụ (tham khảo hình vẽ). Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm.