Anh Việt có một tấm nhôm hình tam giác đều $ABC$ với cạnh bằng 6 (dm). Bên trong tấm nhôm này, anh vẽ thêm tam giác đều $DEF$ sao cho hai tam giác có cùng trọng tâm, đồng thời các cạnh tương ứng song song nhau. Anh Việt muốn làm một chậu đựng nước dạng hình chóp cụt tam giác đều với đáy nhỏ là $DEF$ và đáy lớn để hở. Anh cắt bỏ ba hình bình hành ở ba góc của tam giác $ABC$ là $AMDN$, $BPEQ$, $CSFR$ (như hình). Kẻ đường cao $AH$ và gọi $O$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Đặt $x=DN=DM$ $(0<x<2)$. Xét tính đúng sai các mệnh đề sau:

Đáp án theo bảng đáp án mã đề 703 (trang 7): Câu 4 - a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng. Lời giải chi tiết do AI solution agent cung cấp: a) $NP=AB-AN-BP=6-2x$ vì $AN=BP=x$; tương tự $QR=SM=6-2x$. b) $AH=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$, $OA=\frac{2}{3}AH=2\sqrt{3}$. c) $AD=x\sqrt{3}$ và $DE=6-3x$ do $DEF$ đồng dạng với $ABC$ cùng tâm, khoảng cách từ $A$ đến $DE$ là $x\sqrt{3}$. d) Chóp cụt có đáy nhỏ cạnh $6-3x$, đáy lớn cạnh $6-2x$, cạnh bên $x$, chiều cao $h=\frac{x\sqrt{6}}{3}$; $V(x)=\frac{x\sqrt{2}}{12}(19x^2-90x+108)$ đạt max $\approx 4,54$ lít tại $x=\frac{30-6\sqrt{6}}{19}\approx 0,805$.
a) Trong hình bình hành $AMDN$ có $AN=DM=x$, $AM=DN=x$; trong $BPEQ$ có $BP=EQ=x$; trong $CSFR$ có $CS=FR=x$. Vì $N,P$ thuộc cạnh $AB$ nên $NP=AB-AN-BP=6-x-x=6-2x$ (dm). Tương tự $QR=6-2x$ (dm), $SM=6-2x$ (dm).
b) Tam giác đều $ABC$ cạnh 6 có đường cao $AH=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$ (dm). Trọng tâm $O$ cách đỉnh một khoảng $OA=\frac{2}{3}AH=\frac{2}{3}\cdot 3\sqrt{3}=2\sqrt{3}$ (dm).
c) Vì $DN\parallel AC$ và $DM\parallel AB$, điểm $D$ nằm trên đường cao $AH$ với thành phần dịch chuyển theo hai hướng $AB,AC$ mỗi hướng độ dài $x$, nên $AD=2\cdot x\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=x\sqrt{3}$ (dm). Tam giác $DEF$ đều có các cạnh tương ứng song song với $ABC$ và cùng trọng tâm, khoảng cách giữa hai cạnh song song $DE$ và $AB$ bằng $AD=x\sqrt{3}$, mà khoảng cách giữa hai đường thẳng song song ứng với hiệu hai cạnh bằng $\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot (6-DE)$, suy ra $\frac{\sqrt{3}}{2}(6-DE)=x\sqrt{3}\Rightarrow DE=6-3x$ (dm).
d) Sau khi gập và dán, chậu là hình chóp cụt đều: đáy nhỏ $DEF$ cạnh $a_1=6-3x$, đáy lớn là tam giác đều cạnh $a_2=6-2x$, cạnh bên $DM=EQ=FS=x$. Hiệu bán kính đường tròn ngoại tiếp hai đáy là $\frac{a_2-a_1}{\sqrt{3}}=\frac{x}{\sqrt{3}}$, nên chiều cao chậu $h=\sqrt{x^2-\frac{x^2}{3}}=\frac{x\sqrt{6}}{3}$. Diện tích hai đáy: $S_1=\frac{\sqrt{3}}{4}(6-3x{)}^2$, $S_2=\frac{\sqrt{3}}{4}(6-2x{)}^2$. Thể tích $V(x)=\frac{h}{3}\left(S_1+S_2+\sqrt{S_1{S}_2}\right)=\frac{x\sqrt{2}}{12}\left(19x^2-90x+108\right)$. Xét $f(x)=19x^3-90x^2+108x$, $f^{\prime }(x)=3(19x^2-60x+36)=0$ cho $x=\frac{30-6\sqrt{6}}{19}\approx 0,805\in (0;2)$. Khi đó $V_{\max }=V(0,805)\approx 4,54$ (dm${}^3$) $=4,54$ (lít). Mệnh đề đúng.