Trong không gian $Oxyz$ thuộc hệ thống định vị GPS, bề mặt Trái Đất được mô hình hoá bởi mặt cầu $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-2{)}^2=9$. Hai vệ tinh truyền tín hiệu có vị trí $M(4;-4;2)$, $N(6;0;6)$. Xét tính đúng sai các mệnh đề sau:

(AI giải đề cho tôi)
Tâm mặt cầu là $I(1;2;2)$, bán kính $R=3$.
a) $IM=\sqrt{3^2+(-6{)}^2+0^2}=\sqrt{45}$; $IN=\sqrt{5^2+(-2{)}^2+4^2}=\sqrt{45}$. Vậy $IM=IN$, hai vệ tinh cách tâm mặt cầu bằng nhau, mệnh đề 'M gần tâm hơn N' là SAI.
b) $\overrightarrow{MN}=(2;4;4)=2(1;2;2)$, đường thẳng qua $M(4;-4;2)$ có VTCP $(1;2;2)$: $\frac{x-4}{1}=\frac{y+4}{2}=\frac{z-2}{2}$. ĐÚNG.
c) Mặt phẳng qua $I,M,N$: $\overrightarrow{IM}=(3;-6;0)$, $\overrightarrow{IN}=(5;-2;4)$, pháp tuyến $\overrightarrow{IM}\times \overrightarrow{IN}=(-24;-12;24)\parallel (2;1;-2)$. Phương trình: $2(x-1)+(y-2)-2(z-2)=0\iff 2x+y-2z=0$. ĐÚNG.
d) Khoảng cách từ $M$ đến điểm gần nhất trên mặt cầu là $IM-R=\sqrt{45}-3\approx 3,7082$ đơn vị $=3,7082\times 2100\approx 7787,2$ km. Thời gian $t=\frac{7787,2}{3\cdot 10^5}\approx 0,02596\approx 0,026$ giây. ĐÚNG.
Khớp với đáp án nguồn: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$IM=\sqrt{45}=IN$ nên hai vệ tinh cách tâm mặt cầu bằng nhau, M không gần tâm hơn N.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MN}=(2;4;4)\parallel (1;2;2)$, đường thẳng qua M: $\frac{x-4}{1}=\frac{y+4}{2}=\frac{z-2}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến $\overrightarrow{IM}\times \overrightarrow{IN}\parallel (2;1;-2)$, qua $I(1;2;2)$ cho $2x+y-2z=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Quãng đường $IM-R=(\sqrt{45}-3)\times 2100\approx 7787,2$ km, thời gian $\approx 0,026$ giây.