Tìm thể tích phần giao nhau của khối nón $(N)$ và khối trụ $(T)$ biết rằng chúng có cùng chiều cao 4 dm, hai đường tròn đáy đồng phẳng và có bán kính cùng bằng 2 dm, đồng thời trục của hình nón là một đường sinh của hình trụ (tham khảo hình vẽ). Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: khối trụ (T): $x^2+y^2\le 4$, $0\le z\le 4$ (bán kính 2 dm, chiều cao 4 dm). Vì trục của nón là một đường sinh của trụ nên đỉnh nón là $S(2,0,4)$, tâm đáy nón là $(2,0,0)$, đáy nón nằm trong mặt phẳng $z=0$ (đồng phẳng với đáy trụ), bán kính đáy nón bằng 2 dm.

Thiết diện phẳng $z=\text{const}$ của phần giao là giao của hai hình tròn: tròn tâm $O(0,0)$ bán kính $R=2$ (thuộc trụ) và tròn tâm $(2,0)$ bán kính $r=2\left(1-\frac{z}{4}\right)=2-\frac{z}{2}$ (thuộc nón), khoảng cách hai tâm $d=2$.

Diện tích giao (lens) của hai đường tròn bán kính $R=2$, $r$, tâm cách nhau $d=2$:
$$A(r)=r^2\arccos \frac{r}{4}+4\arccos \left(1-\frac{r^2}{8}\right)-\frac{1}{2}r\sqrt{16-r^2}.$$

Kiểm tra: $A(2)=4\cdot \frac{\pi }{3}+4\cdot \frac{\pi }{3}-\sqrt{12}\approx 4,9135$; $A(1)\approx 1,4030$; $A(0,5)\approx 0,3705$; $A(1,5)\approx 2,9667$.

Thể tích:
$$V={\int }_0^{4}A(z)dz=2{\int }_0^{2}A(r)dr(r=2-\frac{z}{2},dz=-2dr).$$

Tính gần đúng bằng quy tắc Simpson với $h=0,5$ trên $[0,2]$:
$${\int }_0^{2}A(r)dr\approx \frac{0,5}{3}\left[A(0)+4A(0,5)+2A(1)+4A(1,5)+A(2)\right]\approx \frac{0,5}{3}(21,068)\approx 3,511.$$
$$V\approx 2\cdot 3,511\approx 7,02{\text{dm}}^3.$$

Kết quả khớp với đáp án nguồn 7,02.