Trong một khu đô thị, người ta quy ước một hệ trục tọa độ không gian $Oxyz$ (đơn vị độ dài tính bằng mét). Hai điểm $A(10;24;18),B(50;18;24)$ biểu diễn vị trí tương đối của hai cột kỹ thuật chiếu sáng. Một tuyến cáp kỹ thuật ngầm được bố trí thẳng theo trục $Ox$. Người ta chọn một điểm $M$ trên tuyến cáp này để đặt hộp điều khiển trung tâm. Hệ thống cần sử dụng các đoạn cáp thẳng nối từ $M$ đến $A$, từ $M$ đến $B$ và một đoạn cáp cố định nối trực tiếp giữa hai cột $A$ và $B$. Xác định tọa độ điểm $M$ sao cho tổng chiều dài cáp cần sử dụng là nhỏ nhất, và tính tổng chiều dài cáp đó (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Trong không gian $Oxyz$, với đơn vị dài trên mỗi trục là $1dm$. Một con ong mật xuất phát tại vị trí điểm $A(3;2;1)$ bay xuống mặt phẳng $(Oxy)$ nó nghỉ tại chỗ một lát rồi sau đó bay đến mặt phẳng $(P):y-z=0$. Tại mặt phẳng $(P)$ con ong mật cẩn thận bò đi một đoạn đường thẳng có độ dài bằng $2dm$, sau đó nó bay trở về vị trí xuất phát. Tính độ dài ngắn nhất của quãng đường mà con ong mật đã thực hiện (kết quả tính theo đơn vị $dm$ và làm tròn đến hàng phần trăm).

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;1;1)$, $B(-2;1;0)$, $C(2;-3;1)$. Điểm $S(a;b;c)\in (Oyz)$ sao cho $P=S{A}^2+S{B}^2+3S{C}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $T=a+b+c$?

a) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=4,AD=2$. Đường thẳng $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng $(SCD)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $45^{\circ }$. Lấy các điểm $M,N$ lần lượt thuộc các cạnh $AB,SD$ sao cho $MA=3MB,\overrightarrow{NS}+4\overrightarrow{ND}=\vec{0}$. Tính thể tích khối tứ diện $SMNC$ và $\sin \alpha$, với $\alpha$ là góc tạo bởi đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $(SAC)$.

b) Một cuộc diễn tập phóng không được giả lập trong không gian $Oxyz$, mỗi đơn vị trên trục có độ dài 1 km ứng với thực tế. Hai drone bay thẳng đều trong hệ trục, xét tại thời điểm $t=0$ drone 1 ở tại điểm $A(2;-3;2)$, bay theo hướng vectơ $\vec{n}=(3;4;-1)$ và có vận tốc $v_1=16\sqrt{26}$ km/h; drone 2 ở tại điểm $B(-3;1;1)$, bay theo hướng vectơ $\vec{b}=(5;2;-1)$ và có vận tốc $v_2=16\sqrt{30}$ km/h. Tìm khoảng cách gần nhất của hai drone này khi ta theo dõi trong 10 phút đầu tiên.

Cho hình chóp $SABCD$, có đáy là hình vuông cạnh $a$, tam giác $SAB$ đều. Gọi $M$ là điểm trên cạnh $AD$ sao cho $AM=x,x\in (0;a)$. Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $M$ và song song với $(SAB)$ lần lượt cắt các cạnh $CB,CS,SD$ tại $N,P,Q$. Để diện tích $MNPQ$ bằng $\frac{a^2\sqrt{3}}{5}$ thì $x=t.a$. Tìm $t$.

Bác An kí hợp đồng làm mái cho một ngôi nhà như hình dưới đây:



Hình ảnh phía trước ngôi nhà



Hình vẽ khung mái nhà

Biết các tam giác $\Delta AD{A}^{\prime },\Delta FMK,\Delta BC{B}^{\prime }$ (gọi là các bức đầu hồi của ngôi nhà) là các tam giác cân tại $D,M,C$ có các đường cao $DH,MP,C{H}^{\prime }$. Các tứ giác $ABCD,A^{\prime }{B}^{\prime }CD$ (mái dọc) là các hình chữ nhật. Các tứ giác $MNEF,MN{B}^{\prime }K$ (mái ngang) là các hình thang vuông tại $M,F,K$. Để đảm bảo sự thông thoáng phía bên trong ngôi nhà, phần tam giác $NE{B}^{\prime }$ không ghép mái. Các bức đầu hồi đã được thi công trước đó. Giá thành làm mái trọn gói trong hợp đồng với chủ nhà là $1250000VND/m^2$. Hỏi số tiền bạc An được trả theo hợp đồng là bao nhiêu triệu đồng (làm tròn tới hàng đơn vị)?

Ông An có một thanh đá thạch anh màu xanh ngọc dạng hình lăng trụ đứng $OAB.O^{\prime }{A}^{\prime }{B}^{\prime }$, trong đó $OA=OB=2dm$, $\widehat{AOB}=120^0$, $O{O}^{\prime }=4dm$. Ông mang thanh thạch anh này đến tiệm chuyên gia công và sản xuất đồ lưu niệm yêu cầu chủ tiệm phân chia thanh đá thành ba phần bởi hai mặt phẳng $(CAB)$ và $(DAB)$ sao cho tam giác $CAB$ vuông, tam giác $DAB$ đều. Sau đó, làm một quả cầu pha lê ngoại tiếp khối thạch anh $ABCD$ (4 điểm $A,B,C,D$ thuộc mặt cầu, xem hình minh họa). Chủ tiệm định giá tiền hoàn thành món hàng bằng bình phương thể tích khối thạch anh $ABCD(d{m}^3)$ cộng với bình phương bán kính mặt cầu $(dm)$ ngoại tiếp khối đó rồi nhân với 60 nghìn đồng $((V_{ABCD}^2+R^2).60000)$. Hỏi ông An phải trả bao nhiêu nghìn đồng cho món đồ lưu niệm của mình?